《幾何学》Weierstarass-Ennperの表現公式とは わかりやすく解説

幾何学

Weierstarass-Ennperの表現公式とは

単連結極小曲面を表現する

Dを単位開円盤か全複素平面Cとするとき、単連結極小曲面 p(w) は以下のように表すことができます。
$$
p(w)=\left(Re \int_{0}^{w} \frac{1}{2} f\left(1-g^{2}\right) d w, Re \int_{0}^{w} \frac{i}{2} f\left(1+g^{2}\right) d w, Re \int_{0}^{w} f g d w\right) \quad(w \in D)
$$

w = u + iv であり、f(w) はD上の正則関数であり、g(w) はD上の有理型関数としています。

単連結については別の記事で解説したのでこちらをご覧ください。

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ワイエルシュトラスとエンネッパーによって導きだされた

ドイツの数学者、ワイエルシュトラスとエンネッパーによって導きだされた表現です。

カール・ワイエルシュトラス - Wikipedia
Alfred Enneper: German mathematician (1830-1885) - Biography and Life
German mathematician (Born: 1830. Died: 1885, Hanover). Occupations: Mathematician. From: Germany

Weierstarass-Ennperの表現公式の使い方

極小曲面を簡単に生成できる

Weierstarass-Ennperの表現公式を使うと極小曲面をいくらでも生成することができます。例えば
$$
f(w) = \frac{2}{1-w^4}
$$
とすると f(w) が描く曲面はScherkの極小曲面となります。以下の図はScherkの極小曲面をpythonで描いたものです。

このようにして具体的に f(w) を与えることで極小曲面を生成できるため、極小曲面を研究する現場で用いられています。

おすすめの数学書

曲線と曲面の微分幾何

なぜ今回記事に書いたようなことが成り立つのかが気になる方は以下の参考書を読むことをおすすめします。こちらは私が学部時代に読み込んだ本でして、1冊徹底的に読み込むことで曲線と曲面の幾何学の知識が一気に広がります。

筆者
筆者

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