《電気回路》フェーザ表示とは?解説してみた

電気電子工学

フェーザ表示について

フェーザ表示とは

フェーザ表示(フェーザひょうじ、英: phasor)とは、電気工学や波動光学などにおいて正弦信号を複素数で表現する表示方法である。主に線型回路の交流解析に使用される。線型な電気回路において、本来は微分方程式の求解問題である定常的な振る舞いの解析を、フェーザ表示を利用することでより簡単な代数方程式(特に連立一次方程式)の求解問題に帰着させることができる。

引用:「フェーザ表示」

https://ja.wikipedia.org/wiki/フェーザ表示

以上内容をまとめると「正弦信号を複素数で表現する」方法をフェーザ表示と呼ぶと書かれています。

フェーザ表示を導出

大雑把にフェーザ表示を導出

正弦信号 s(t) が存在するとします。

上の画像はただの正弦波のイメージです。正弦波 s(t) を以下のように定義します。

$$
s ( t ) = A \sin ( \omega t + \theta )  \tag{1}
$$

この(1)をオイラーの公式を用いて変形すると以下ように書けます。
$$
s(t) = \Im(A e^{j\theta}e^{jwt})
$$
右辺についている \mathfrak { J } (フラクトゥール書体のJ)は中身の虚部を表します。なぜこのように変形できるのかというと
$$
e^{j\theta}e^{jwt} = e^{j\theta + jwt} = \cos (\theta + wt) + j \sin (\theta + wt)
$$
とかけるのでこの  e^{j\theta}e^{jwt} の虚部だけとれば(1)と等しくなるからです。ここで
$$
A e^{j\theta} = S , \quad e = \exp
$$
で表現すると次の式になります。
$$
s ( t ) = \mathfrak { J } [ S \exp ( j \omega t ) ] \tag{2}
$$
先ほど定義したSをもう一度  \exp をつかって表記すると以下のようになります。
$$
S = A \exp ( j \theta )   \tag{3}
$$

このとき「Sを信号s(t)のフェーザ、もしくはフェーザ表示」と呼びます。冒頭に説明したフェーザ表示の説明で、「フェーザ表示は正弦信号を複素数で表現する」とありました。この式をみると確かに複素数をつかって正弦信号を表記していることがわかります。

フェーザ表示の性質

微分と複素数を掛けることが同値

フェーザ表示は次の式の関係を持ちます。

$$
\frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \Leftrightarrow \mathrm { j } \omega
$$

左辺のtで微分することと右辺の式を掛けることは同値であるということを言っています。例えば以下のような式があるとします。

$$
v ( t ) = \mathfrak { I } [ V \exp ( j \omega t ) ]
$$

この式の右辺をtで微分したものと  \mathrm { j } \omegaを掛けることは同値であるので等式で繋げることができます。

$$
\frac { \mathrm { d } v ( t ) } { \mathrm { d } t } = \mathfrak { I } [ j \omega V \exp ( \mathrm { j } \omega t ) ]
$$

参考文献:「フェーザ表示」

https://ja.wikipedia.org/wiki/フェーザ表示

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