《微分幾何学》極小曲面、平均曲率0の幾何学的な意味を解説

幾何学

平均曲率とは

平均曲率の定義

曲面の曲率の最大値と最小値を足して2で割った値は平均曲率と呼ばれています。

$$H = \frac{1}{2}(\kappa_1+\kappa_2)$$

また、曲面の曲率の最大値と最小値は主曲率と呼びます。

極小曲面とは

極小曲面の定義

平均曲率が0の曲面を極小曲面と呼びます。

極小曲面の幾何学的な意味

問題設定

パラメータ(u,v)によって曲面が生成される写像を以下のように定義します。

$$p(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v))$$

この(u,v)が動く範囲を(u,v)平面に領域Rとして設定します。またこの領域Rの境界面を\partial Rと命名します。\partial Rを固定して、内側の局面を少し変形する場合を考えてみましょう。この時変形方向は法方向に限定します。

結論:極小曲面の幾何学的な意味

法方向への変形を少し加えた曲面は平均曲率が0、すなわち極小曲面の場合は曲面の面積が変化しません。一方、平均曲率が0でない、すなわち極小曲面でない場合は面積が減少します。

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曲線と曲面の微分幾何

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筆者
筆者

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