《幾何学》リサージュ図形とは?数式や位相差がどのように影響するのかを解説

幾何学

リサージュ図形の定義

リサジュー図形(リサジューずけい、Lissajous figure)あるいはリサジュー曲線 (Lissajous curve) とは、互いに直交する二つの単振動を順序対として得られる点の軌跡が描く平面図形のこと。“リサージュ”と表記されることもある[1][2]。それぞれの振動の振幅、振動数、初期位相の違いによって、多様な曲線が描かれる。振動数の比が無理数の場合は閉曲線にはならず、軌道は有限の平行四辺形領域を稠密に埋める。

引用:「リサジュー図形」

「ウィキペディア (Wikipedia): フリー百科事典」

https://ja.wikipedia.org/wiki/リサジュー図形

リサージュ図形とは何か

正弦波x, yを以下のように定義します。

$$
\begin{array}{l}{\mathrm{x}(\mathrm{t})=\mathrm{A} \sin (\mathrm{\theta t}+\Delta)} \\ {\mathrm{y}(\mathrm{t})=\mathrm{B} \sin (\mathrm{\theta} \mathrm{t})}\end{array}
$$

このx, yをパラメータとして描かれる図形をリサージュ図形と呼びます。これだけでは何もイメージできないのでpythonでリサージュ図形を描いてみます。

pythonでリサージュ図形を書いてみる

位相差を変化させた場合のリサージュ図形

先ほどのx, yの式を見ればわかりますがリサージュ図形の形状は \Delta と正弦波の大きさA, Bに依存します。A, Bの大きさは1と固定して、 \Delta 0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \pi とした時のリサージュ図形の形状を見てみます。

描画されたリサージュ図形は以下のような形状になりました。

\Delta = 0 のときに直線 そこから楕円、]\Delta = \frac{\pi}{2} で円になり、そこから直線に戻っていく形状変化がみられました。

パラメータの絶対値をずらした場合のリサージュ図形

では次は ]\Delta = \frac{\pi}{2}   と固定してx, yのパラメータの絶対値を同値にならないように設定した場合のリサージュ図形の形状を見てみましょう。AとBの組み合わせは  [A, B] = [1, 3] ,[ 3, 5] , [1, 5] と設定します。

描画されたリサージュ図形は以下のような形状になりました。

一般的にイメージされるリサージュ図形のような形状になったかと思います。

リサージュ図の式を導出

リサージュ図形の導出

リサージュ図形は次のように表現することもできます。

$$
\left( \frac { x } { V _ { a } } \right) ^ { 2 } – 2 \frac { x y } { V _ { a } V _ { b } } \cos \varphi + \left( \frac { y } { V _ { b } } \right) ^ { 2 } = K ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \varphi
$$

この式は三角関数の公式を使って、生成することができます。せっかくなので今回の記事でこの式の導出をやってみようとおもいます。では先ほど例をあげた2つの正弦波を以下のように再定義させてください。

$$
\begin{array} { l } { e _ { a } = V _ { a } \sin w t } \\ { e _ { b } = V _ { b } \sin ( w t + \phi ) } \end{array}
$$

φは位相差を表します。

次にeaを水平軸, ebを垂直軸に加え,この時の輝点の変位をx,yとすると

$$
\begin{array} { l } { x = k V _ { a } \sin w t } \\ { y = k V _ { b } \sin ( w t + \phi ) } \end{array}
$$

Kは比例定数とします。ここでyを加法定理を使って変形する。

$$
y = k V _ { b } \sin ( w t + \phi )
$$

$$
y = k V _ { b } ( \sin wt \cos \phi + \cos w t \sin \phi )
$$

さらに式変形を続けます

$$
\sin w t = \frac { x } { k V _ { a } }
$$

$$
\begin{aligned} y & = K V _ { b } \cdot \frac { x } { k V _ { a } } \cdot \cos \phi + K V _ { b } \cos w t \sin \phi \\ & = \frac { V _ { b } } { V _ { a } } x \cos \phi + K V _ { b } \sin \phi \text { coswt } \end{aligned}
$$

$$
\left( \frac { x } { V _ { a } } – \frac { y } { V _ { b } \cos \phi } \right) ^ { 2 } = \left( – \frac { k V _ { b } \sin \varphi } { V _ { b } \cos \phi } \right) ^ { 2 }
$$

$$
\left( \frac { x } { V_{a} } \right) ^ { 2 } – \frac { 2 x y } { V a V _ { b } \cos \phi } + \left( \frac { y } { V _ { b } \cos \phi } \right) ^ { 2 } = \left( K \frac { \sin \phi } { \cos \phi } \cos u i \right) ^ { 2 }  \dot (1)’
$$

途中で、x式を変形してy式に代入しています。次の計算が1番の肝で、x式を変形します。理由はsinωtとcosωtを打ち消すためですね。

$$
\left( \frac { x } { V _{a} } \right) ^ { 2 } – \frac { 2 x y } { V _{a} V _ { b } \cos \phi } + \left( \frac { y } { V _ { b } ( \omega \phi ) } \right) ^ { 2 } = \left( k \frac { \sin \phi } { \cos \phi } \cos wt \right) ^ { 2 }
$$

$$
( K \cos \phi ) ^ { 2 } \left( \frac { x} { K V _ { a } } \right) ^ { 2 } = \left( K \frac { \sin \phi } { \cos\phi } \right) ^ { 2 } ( \sin wt ) ^ { 2 }
$$

$$
\left( \frac { \sin \phi x } { \cos \phi {V _ { a } }} \right) ^ { 2 } = \left( k \frac { \sin \phi } { \cos \phi } \right) ^ { 2 } \left( \sin ^ { 2 } w \right)
$$

これにより(2)’が定義され、(1)’+(2)’を計算すると以下の式が導かれます。

$$
\left( 1 + \left( \frac { \sin \phi } { \cos \phi } \right) ^ { 2 } \right) \left( \frac { x } { \operatorname { V_{a} } } \right) ^ { 2 } – \frac { 2 x y } { V_{ a } V_ { b } \cos \phi } + \left( \frac { y } { V _ { b } \cos \phi } \right) ^ { 2 } =  \left( k \frac { \sin \phi } {  cos\phi } \right) ^ { 2 }
$$

最後に、両辺に(cosφ)^2を掛けて導出完了です。

$$
\left( 1 + \left( \frac { \sin \phi  } { \cos \phi } \right)^2 \right) \left( \frac { x } { V_ { a } } \right) ^ { 2 } – \frac { 2 x y } { V_{a} V _ { b } \cos \phi } + + \left( \frac { y } { V _ { b } \cos \phi } \right) ^ { 2 } = \left( K \frac { \sin \phi } { \cos\phi} \right) ^ { 2 }
$$

$$
\left( \frac { x } { V _ { a } } \right) ^ { 2 } – \frac { 2 x y } { V _{a} V _ { b} } \cos \phi + \left( \frac { y } { V_{b}} \right) ^ { 2 } = ( k \sin \phi ) ^ { 2 }
$$

となり、リサージュ図の式を導出することができました。

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