《微分幾何学》調和関数とは?意味をわかりやすく解説

幾何学

調和関数の基本

調和関数の定義

x, y の関数  f がある領域内で連続であり、かつ最低2回は微分可能な偏導関数であり、次の式を満たす場合

$$ \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2} = 0$$

この関数  f を調和関数と呼びます。

調和関数の活用例

電磁気学の静電ポテンシャル

静電ポテンシャル  u(x,v) 存在するとします。この静電ポテンシャルがzに依存しないとすると次のLaplaceの方程式を満たします。

$$ (\frac{\partial ^2 }{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 }{\partial y^2})u(x,y) = 0$$

この式の形はまさに調和関数です。このように電磁気学や物理学において度々出現します。

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筆者
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