《微分幾何学》第一基本量と第一基本形式とは何か?幾何学的な意味などを解説

幾何学

第一基本量の定義

曲面 p(u,v) = (x(u,v), y(u,v),z(u,v) を考えます。この曲面 p(u,v)  u, vで偏微分したものとの内積を以下のように書くとします。

$$
E=p_u\cdot p_v, \quad F=p_u \cdot p_v = p_v \cdot p_u, \quad G=p_v\cdot p_v
$$

このE, F, Gを第一基本量と呼びます。

第一基本量は何故定義されるのか

量なのでスカラー

式を見れば分かると思いますが、第一基本量はベクトル同士の内積であるので、スカラーです。何故第一基本量を定義しているのかというと、曲面や曲線を扱う微分幾何学において、式を綺麗にかけるからです。この曲面を偏微分して内積をとった式は非常によく出てくるので、このように定義したわけです。

第一基本形式の定義

第一基本量を使って表現される次の式を第一基本形式と呼びます。

$$
I = E dudu + 2F dudv + G dvdv
$$

第一基本形式の幾何学的な意味

曲面の微小区間の距離

第一基本形式は曲面上にある点とその近傍にある点との距離を表しています。なぜそのようになるのかは以下の元カリフォルニア大学教授で、幾何学を専攻している方ならば誰もがしってるであろう小林先生が書いた本を読むと理解できると思います。

おすすめの数学書

曲線と曲面の微分幾何

なぜ今回記事に書いたようなことが成り立つのかが気になる方は以下の参考書を読むことをおすすめします。こちらは私が学部時代に読み込んだ本でして、1冊徹底的に読み込むことで曲線と曲面の幾何学の知識が一気に広がります。

筆者
筆者

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