《幾何学》外微分形式について調べたのでわかりやすく解説する

大学数学

外微分形式について

外微分形式の定義

次のような式があるとします。

$$ a d u  + b d v $$

この式は外微分形式(exterior differential form)または微分形式(differential form)と呼びます。

乗法は外積を使う

 (u, v ) の平面内の領域Dで定義された微分形式を書く時、乗法の記号は\land を使います。

ここで外積をつかった計算が以下の規則を持つよう定義します。

\begin{eqnarray*}
du \land du &=& 0 \\
dv \land dv &=& 0 \\
du \land dv &=& – dv \land du
\end{eqnarray*}

3つの微分形式

微分形式は0微分方式、1微分方式、2次微分方式の3種類が存在します。

関数

0次微分形式

 f du + g dv  

1次微分形式

f du \land dv

2次微分形式

と定義されます。今回扱うの2次微分形式は以下の変形ができます。

\begin{eqnarray*}
f d u \wedge d v &=& -f d v \wedge d u \\
f d u \wedge d v  &=& \frac{1}{2}\left(f d u \wedge d v-f d v \wedge  d u\right)
\end{eqnarray*}

この式は以下のように計算すると成り立っていることがわかります。

\begin{eqnarray*}
f d v \wedge d u &=& -f( d u \wedge d v) \\
&=& -f d u \wedge d v
\end{eqnarray*}

となることから

\begin{eqnarray*}
f d u \wedge d v-f d v \wedge d u \\
f d u \wedge d v+f d u \wedge d v &=& 2 f d u \wedge d v \\
f d u \wedge d v &=& \frac{1}{2} (f d u \wedge d v – f d v \wedge d u)
\end{eqnarray*}

乗法の関係式が成り立つか確かめる

以下の2つの1次微分形式が存在するとします。

\begin{eqnarray*}
\alpha &=& a_{1} d u+a_{2} d v \\
\beta &=& b_{1} d u+b_{2} d v
\end{eqnarray*}

この1次微分形式を掛けると

\begin{eqnarray*}
\alpha \wedge \beta &=& (a_1 du + a_2 dv) \wedge (b_1 du + b_2 dv) \\
&=& a_{1} d u \wedge b_{1} d u + a_{1} d u \wedge b_{2} d u +a_{2} d v \wedge b_{1} d u \wedge +a_{2} d v \wedge b_{2} d v \\
&=& a_1 b_2 du \wedge dv + a_2 b_1 dv \wedge \\
&=& (a_1 b_2 – a_2 b_1)du \wedge dv
\end{eqnarray*}

\alpha , \beta の積の係数は (a_1 b_2 - a_2 b_1)となり

$$
\left[\begin{array}{ll}{a_{1}} & {a_{2}} \\ {b_{1}} & {b_{2}}\end{array}\right]
$$

の行列式となっていることがわかる。掛け算の順番が変わると以下の行列式の形になる。

$$
\left[\begin{array}{ll}{b_{1}} & {b_{2}} \\ {a_{1}} & {a_{2}}\end{array}\right]
$$

よって、前に紹介した以下の規則が成り立つことがわかります。

$$ \alpha \wedge \beta = – \beta \wedge \alpha $$

また \alpha \wedge \beta \neq 0が成り立つ場合、\alpha, \beta  が1次独立であると言えます。というのも \alpha \wedge \beta \neq 0が成り立つということは (a_1 b_2 - a_2 b_1)が0でなく、\alpha, \beta  が基底の条件を満たしているかつ1次独立であるということが言えるからです。

各微分形式との外微分を定義する

0次微分形式の場合

$$ d f=\frac{\partial f}{\partial u} d u+\frac{\partial f}{\partial v} \partial v $$

1次微分形式の場合

1次微分形式

$$ \varphi=f d u+g d v $$

が与えられた場合

\begin{eqnarray*}
d \varphi &=& df \wedge du + dg \wedge dv \\
&=&\left(\frac{\partial f}{\partial u} d u+\frac{\partial f}{\partial v} d v\right) d u+\left(\frac{\partial g}{\partial u} d u+\frac{\partial g}{\partial v} d v\right) d v \\
&=&\frac{\partial f}{\partial v} d v \wedge d u+\frac{\partial g}{\partial u} d u \wedge d v \\
&=&\left(-\frac{\partial f}{\partial v}+\frac{\partial y}{\partial u}\right) d u \wedge d v
\end{eqnarray*}

2次微分形式の場合

2次微分形式

$$ d \varphi = f du \wedge dv $$

が与えられた場合

\begin{eqnarray*}
d \phi &=&d f \wedge d u \wedge d v \\
&=&\left(\frac{\partial f}{\partial u} d u+\frac{\partial f}{\partial v} d v\right) \wedge d u \wedge d r \\
&=&0
\end{eqnarray*}

外微分で抑えておきたい重要な式

$$ dd\theta = 0$$

です。外微分を2回使うと0になります。これは先ほど紹介した外微分の公式を使うと証明できるので証明してみます。
$$ \alpha=\frac{\partial f}{\partial u}, \beta=\frac{\partial f}{\partial v} $$
\theta = f とすると
\begin{eqnarray*}
d d f &=&d\left(\frac{\partial f}{\partial u} d u+\frac{\partial f}{\partial v} d v\right) \\
&=&d \alpha \wedge d u+d \beta \wedge d v \\
&=&\left(\frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial u} d u+\frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial v} d v\right) \wedge d u+\left(\frac{\partial^{2} f}{\partial v \partial u} d u+\frac{\partial^{2} f}{\partial v \partial u} d v\right) \wedge d v \\
&=& \frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial v} d v \wedge d u+\frac{\partial^{2} f}{\partial v \partial u} d u \wedge d v \\
&=&\left(-\frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial v}+\frac{\partial^{2} f}{\partial v \partial u}\right) d u \wedge d v \\
&=&0
\end{eqnarray*}

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