KATUBLO | エンジニアの日常BLOG
2019年06月28日

【線形代数学】空間平面とある点の距離を求める公式を導出&計算した!

こんにちは。KATUOです。

今回の記事では「空間平明とある点の距離を求める公式の導出」について書いていこうと思います。

あとすっごいどうでもいいですけど、この曲めっちゃ集中力を高めてくれる(謎)

 

 

今回扱う平面、その他定義

条件の提示

ある空間上に以下の式で表される平面が存在する。

$$ a x + b y + c z = d $$

ここで空間上に存在する[math]A \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } \right) [/math]と平面との距離を求めたい。ここで点Aから平面に向かって垂直に下ろした点を点Hとする。

$$
H ( X, Y , Z)
$$

最終ゴールとしてはこのAHの距離を求めるのがゴールです。

 

法線ベクトルを使ってAHを表す

ベクトルAHは以下の式で表されます。

 

$$
\overrightarrow { A H } = \left( x _ { 0 } – x , y _ { 0 } – y,  z _ { 0 } – z \right)
$$

 

また、ベクトルAHは平面に対して垂直であるため法線ベクトルと実数tを使って以下の式で表すことができます。

 

$$
\left( x _ { 0 } – x , y _ { 0 } – y , z _ { 0 } – z \right) = t ( a , b , c )
$$

 

ここで両辺を[math] \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } \right) [/math]との内積を取ります。

 

$$
a \left( x _ { 0 } – x \right) + b \left( y _ { 0 } – y \right) + c \left( z _ { 0 } – x \right) = t \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } \right)
$$

 

平面の式を代入すると

 

$$
d x _ { 0 } + b y _ { 0 } + c z _ { 0 } + d = t \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } \right)
$$

 

$$
t = \frac { a x _ { 0 } + b x _ { 0 } + c z _ { 0 } + d } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } }
$$

 

よってtを求めることができた。

 

$$
| \overrightarrow { A H } | =  t | \vec { x } |
$$

 

の関係が成り立つため、この式にtを法線ベクトルを代入すると

 

$$
= \frac { \left| a x _ { 0 } + b y _ { 0 } + c z _ { 0 } + d \right| } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } }
$$

 

となり、ある点と平面との距離を求める公式が導出することができた。

 

最後まで読んで頂き、ありがとうございました。
SNS等でのシェアが頂ければ幸いです!

プロフィール

@KATUO

現在都内私立大学に通う大学4年生。大学では電気電子工学を専攻。大学2年の夏頃に、プログラマーの長期インターン募集の広告が目に止まり、独学でプログラミングの学習を開始。現在は「ToC向け大規模サービスを運営するメガベンチャー」と「AIスタートアップ」でインターンで修行中。2020年4月からwebエンジニアとして社会人生活スタート。

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