【線形代数学】空間平面とある点の距離を求める公式を導出&計算した!

大学数学

今回扱う平面、その他定義

条件の提示

ある空間上に以下の式で表される平面が存在する。

$$ a x + b y + c z = d $$

ここで空間上に存在するA \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } \right) と平面との距離を求めたい。ここで点Aから平面に向かって垂直に下ろした点を点Hとする。

$$
H ( X, Y , Z)
$$

最終ゴールとしてはこのAHの距離を求めるのがゴールです。

 

法線ベクトルを使ってAHを表す

ベクトルAHは以下の式で表されます。

 

$$
\overrightarrow { A H } = \left( x _ { 0 } – x , y _ { 0 } – y,  z _ { 0 } – z \right)
$$

 

また、ベクトルAHは平面に対して垂直であるため法線ベクトルと実数tを使って以下の式で表すことができます。

 

$$
\left( x _ { 0 } – x , y _ { 0 } – y , z _ { 0 } – z \right) = t ( a , b , c )
$$

 

ここで両辺を \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } \right) との内積を取ります。

 

$$
a \left( x _ { 0 } – x \right) + b \left( y _ { 0 } – y \right) + c \left( z _ { 0 } – x \right) = t \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } \right)
$$

 

平面の式を代入すると

 

$$
d x _ { 0 } + b y _ { 0 } + c z _ { 0 } + d = t \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } \right)
$$

 

$$
t = \frac { a x _ { 0 } + b x _ { 0 } + c z _ { 0 } + d } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } }
$$

 

よってtを求めることができた。

 

$$
| \overrightarrow { A H } | =  t | \vec { x } |
$$

 

の関係が成り立つため、この式にtを法線ベクトルを代入すると

 

$$
= \frac { \left| a x _ { 0 } + b y _ { 0 } + c z _ { 0 } + d \right| } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } }
$$

 

となり、ある点と平面との距離を求める公式が導出することができた。

 

タイトルとURLをコピーしました