KATUBLO
2019年05月27日

【線形代数学】曲面の第1基本量と第2基本量とは何の意味?例題を交え解説!

こんにちは。KAUTOです。今回は「曲面の第1基本量,第2基本量-周辺分野」について解説していこうと思います。

 

曲面の第1方程式

曲面[math] S(u,v)[/math]に対して,

 

$$
E ( u , v ) = \frac { \partial S } { \partial u } ( u , v ) \cdot \frac { \partial S } { \partial u } ( u , v ) = \left\| \frac { \partial S } { \partial u } ( u , v ) \right\| ^ { 2 }
$$

 

$$
F ( u , v ) = \frac { \partial S } { \partial u } ( u , v ) \cdot \frac { \partial S } { \partial v } ( u , v )
$$

 

$$
G ( u , v ) = \frac { \partial S } { \partial v } ( u , v ) \cdot \frac { \partial S } { \partial v } ( u , v ) = \left\| \frac { \partial S } { \partial v } ( u , v ) \right\| ^ { 2 }
$$

 

これら[math] E , F , G [/math]を曲面[math]S(u,v) [/math]の第1基本量と呼びます。

 

第1基本形式

また先程の曲面にて、

 

$$
\mathrm { I } = E d u ^ { 2 } + 2 F d u d v + G d v ^ { 2 }
$$

 

と置いたものを曲面[math]S(u,v) [/math]の第1基本方程式と呼ぶ。

 

 

第1基本量が表すもの

第1基本量というのは、何を表しているのでしょうか?結論から言うと

 

「曲面の接ベクトルの情報で決まるものという性質を表している」

 

です。さらに情報を付け加えると接ベクトルというのは曲線自身で決まる。一方法ベクトルは曲面の外側の空間がないとそもそも成り立たない。接ベクトルで決まるものと言うことは第1基本量で表現可能のものは内在的(曲面の接ベクトルの情報で決まるもの)であるという。もっと砕けた言い方をすると「第1基本量で表現できるものは曲面の接ベクトルの情報で決まるもの」と言えます。

 

曲面の第2基本量

曲面[math] S(u,v)[/math]に対して,

$$
L ( u , v ) = \frac { \partial ^ { 2 } S } { \partial u ^ { 2 } } ( u , v ) \cdot n ( u , v )
$$

 

$$
M ( u , v ) = \frac { \partial ^ { 2 } S } { \partial u \partial v } ( u , v ) \cdot n ( u , v )
$$

 

$$
N ( u , v ) = \frac { \partial ^ { 2 } S } { \partial v ^ { 2 } } ( u , v ) \cdot n ( u , v )
$$

 

を曲面[math] S(u,v)[/math]の第2基本量と呼ぶ。ここで言うnは単位法線ベクトルです。

 

$$
n ( u , v ) = \frac { \frac { \partial S } { \partial u } ( u , v ) \times \frac { \partial S } { \partial v } ( u , v ) } { \left\| \frac { \partial S } { \partial u } ( u , v ) \times \frac { \partial S } { \partial v } ( u , v ) \right\| }
$$

 

第2基本量は別の形式で表す

先程の第2基本量の式は別の形式でも表すことができます。

まず、接線ベクトルと法線ベクトルの内積が0であることに着目します。

$$
\frac { \partial S } { \partial u } ( u , v ) \cdot n ( u , v ) = 0
$$

ここで内積を偏微分したときの公式を確認してみましょう。

$$
\frac { \partial } { \partial t } ( A \cdot B ) = \frac { \partial A } { \partial t } \cdot B + A \frac { \partial B } { \partial t }
$$

この公式をもちいて両辺をuで微分します。

$$
\frac { \partial } { \partial u } \left( \frac { \partial S } { \partial u } ( u , v ) \cdot n ( u , v ) \right) = 0
$$

$$
\frac { \partial ^ { 2 } S } { \partial u ^ { 2 } } \left( u , n \right) \cdot n ( u , v ) + \frac { \partial S } { \partial u } ( u , v ) \cdot \frac { \partial n } { \partial u } ( u , v ) = 0
$$

最終的に以下の式に変形することができました。

$$
L ( u , v ) = – \frac { \partial ^ { 2 } s } { \partial u ^ { 2 } } ( u , v ) \cdot n ( u , v )
$$

 

 

先程と同様にL以外の基本量も変形することができます。次は基本量Mを別の形で表してみましょう。2パターンあるのでまずは1パターン目を紹介します。

 

$$
\frac { \partial S } { \partial u } ( u , v ) \cdot n ( u , v ) = 0
$$

 

$$
\frac { \partial } { \partial v } \left( \frac { \partial S } { \partial u } ( u , v ) \cdot n ( u , v ) \right) = 0
$$

 

$$
\frac { \partial } { \partial v } \cdot \frac { \partial S } { \partial u } ( u , v ) \cdot n ( u , v ) + \frac { \partial S } { \partial u } ( u , v ) \cdot \frac { \partial n } { \partial v } ( a , v ) = 0
$$

 

$$
\frac { \partial ^ { 2 } s } { \partial u v } ( u , v ) \cdot n ( u , v ) + \frac { \partial s } { \partial u } ( u , v ) \cdot \frac { \partial s } { \partial v } ( u , v ) = 0
$$

 

$$
M ( u , v ) = – \frac { \partial S } { \partial u } ( u , v ) \cdot \frac { \partial S } { \partial v } ( u , v )
$$

 

次は2パターン目です。

 

$$
\frac { \partial S } { \partial v } ( u , v ) \cdot n ( u , v ) = 0
$$

 

$$
\frac { \partial } { \partial u } \left( \frac { \partial S } { \partial v } ( u , w ) \cdot n ( u , v ) \right) = 0
$$

 

$$
\frac { \partial } { \partial a } \frac { \partial S } { \partial v } ( u , v ) \cdot n ( a , v ) + \frac { \partial } { \partial u } n ( u , v ) \cdot \frac { \partial S } { \partial v } ( u , v ) = 0
$$

 

$$
M ( a , v ) = – \frac { \partial S } { \partial v } ( a , v ) \cdot \frac { \partial n } { \partial u } ( u , v )
$$

 

最後は基本量Nをみていきましょう。

 

$$
\frac { \partial S } { \partial v } ( u , v ) \cdot n ( u , v ) = 0
$$

 

$$
\frac { \partial } { \partial r } \left( \frac { \partial S } { \partial v } ( u , w ) \cdot n ( u , v ) \right) = 0
$$

 

$$
\frac { \partial } { \partial v } \frac { \partial S } { \partial r } ( u , v ) \cdot n ( u , v ) + \frac { \partial } { \partial v } n ( u , v ) \cdot \frac { \partial s } { \partial v } ( u , v ) = 0
$$

 

$$
\frac { \partial ^2  S } { \partial v ^2 } ( u , v ) \cdot n ( u , v ) + \frac { \partial n } { \partial v } n ( u , v ) \cdot \frac { \partial s } { \partial v } ( u , v ) = 0
$$

 

$$
N ( u , v ) = – \frac { \partial S } { \partial v } ( u , v ) \cdot \frac { \partial n } { \partial v } ( u \cdot n )
$$

 

基本量S, M, Nを別の式にまとめると以下のようになります。

 

$$
N ( u , n ) = – \frac { \partial S } { \partial v } ( u , v ) \cdot \frac { \partial n } { \partial v } ( u \cdot n )
$$

$$
L ( u , v ) = – \frac { \partial S } { \partial u } ( u , v ) \cdot \frac { \partial n } { \partial u } ( u , v )
$$

$$
M ( u , v ) = – \frac { \partial S } { \partial u } ( u , v ) \cdot \frac { \partial n } { \partial v } ( u , v )
$$

$$
= – \frac { \partial S } { \partial v } ( u , v ) \cdot \frac { \partial n } { \partial u } ( u , v )
$$

$$
N ( u , v ) = – \frac { \partial S } { \partial v } ( u , v ) \cdot \frac { \partial n } { \partial v } ( u , v )
$$

 

 

第2基本形式

また以下の式を第2基本形式と言う。

$$
\Pi = L d u ^ { 2 } + 2 M d u d v + N d v ^ { 2 }
$$

 

第2基本量が表すもの

第2基本量の式を見ると、曲面を2回微分したものと、法ベクトルの内積を取っていますね。

$$
\frac { \partial ^ { 2 } S } { \partial u ^ { 2 } } ( u , v ) \cdot n ( u , v )
$$

 

これは曲面を2回微分をした時に生じる接線方向の成分を除外するために法ベクトルの内積を取っています。そして第2基本量が表すものは以下のように書かれていました。

 

第二基本形式は凸凹の具合などの曲面の空間への入り方(埋め込み方)、即ち外在的性質を表す

 

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』

https://ja.wikipedia.org/wiki/驚異の定理

 

第1基本量は曲面自体に着目したものでしたが、第2基本量は空間自体に視点を変更し、空間への入り方の性質を表しています。

 

 

曲面の微分の関係+第2基本量導出

tmp

 

 

ゼミで使用した参考書

対話形式で非常にわかりやすく幾何学について説明されています。

 

幾何学は微分しないと―微分幾何学入門

最後まで読んで頂き、ありがとうございました。
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プロフィール

@KATUO

現在都内私立大学に通う大学4年生。大学では電気電子工学を専攻。大学2年の夏頃に、プログラマーの長期インターン募集の広告が目に止まり、独学でプログラミングの学習をスタート。この時期からプログラミングにどハマりし、現在までに「AIスタートアップ」「Webマーケティング会社」でエンジニアとしての業務に没頭してきた。

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