KATUBLO | エンジニアの日常BLOG
2019年05月14日

【線形代数】楕円体のパラメータ表示、陰関数表示などを解説

こんにちは。KATUOです。今回は「楕円体」について解説していこうと思います。

 

楕円面とは?

楕円体の定義

楕円体(だえんたい、ellipsoid)とは楕円を三次元へ拡張したような図形であり、その表面は二次曲面である。楕円面の方程式は

 

[math]{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1} [/math]

 

である。ここで a, b, c はそれぞれx軸、y軸、z軸方向の径の半分の長さに相当する。なお a = b = c である楕円体は球である。また a, b, c のうちいずれか2つが等しい楕円体は楕円の軸を中心に楕円を回転して得られる回転体であり、長軸を回転軸にしたものを長球、短軸を回転軸にしたものを扁球といい、併せて回転楕円体と呼ばれる。楕円体は球と同様にxy平面、yz平面、zx平面に関して対称である。

 

引用:「楕円体」

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』

https://ja.wikipedia.org/wiki/楕円体

 

楕円体は言葉の通り、楕円を3次元空間に拡張した図形である。また楕円体の表面は楕円面と呼ばれ、二次曲面として考えることができる。ちなみにこの式の形式を陰関数という。

 

陰関数とは

数学の特に解析学における陰函数(いんかんすう、英: implicit function; 陰伏函数)は、陰伏方程式すなわち適当な多変数函数(しばしば多変数多項式)R によって R(x1, …, xn) = 0 の形に表される関係によって(その函数の引数のうちの一つの変数の値(英語版)を残りの変数に関係付けることによって)陰伏的 (implicitly) に定義される函数を言う

 

引用:「陰関数」

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』

https://ja.wikipedia.org/wiki/陰関数

 

この引用は難しいですね。以下のTwitterでの呟きにて簡単にまとめられてます。

 

 

 

楕円体をパラメーター表示する

では次にこの楕円体をパラメーター表示してみましょう

 

楕円のパラメータ表示

[math] a, b, c > 0 として考えると, [/math]

$$
S ( u , v ) = ( a \cos u \cos v , b \cos u \sin v , c \sin u )
$$

$$
\left( – \frac { \pi } { 2 } \leq u \leq \frac { \pi } { 2 } , \quad 0 \leq v < 2 \pi \right)
$$

 

[math]v, u [/math]を削除すると以下の[math]x,y,z [/math]の座標で表現することができます。

 

$$
\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } + \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } = 1
$$

 

[math]v,u [/math]をSによって変換され、[math]x,y,z [/math]にとなります。

 

 

楕円パラメータを微分する

ここで曲面の各点での以下の接ベクトルを求める。

$$
\frac { \partial S } { \partial u } \left( u _ { 0 } , v _ { 0 } \right) , \frac { \partial S } { \partial v } \left( u _ { 0 } , v _ { 0 } \right)
$$

 

この時、曲面であることからこれらのベクトルは以下の性質が成り立つと仮定する。

任意の[math]\left( u _ { 0 } , v _ { 0 } \right) \in D [/math]に対して

[math]ベクトル \frac { \partial S } { \partial u } \left( u _ { 0 } , v _ { 0 } \right) と\frac { \partial S } { \partial v } \left( u _ { 0 } , v _ { 0 } \right)は一次独立である \tag{1}[/math]

 

この(1)条件は正則の行列と言われたりします。この(1)が成り立つための条件は以下のように書くことができます。

 

任意の[math]\left( u _ { 0 } , v _ { 0 } \right) \in D [/math]に対して

$$
\frac { \partial S } { \partial u } \left( u _ { 0 } , v _ { 0 } \right) \times \frac { \partial S } { \partial v } \left( u _ { 0 } , v _ { 0 } \right) \neq 0
$$

 

なぜこの条件式が成り立つかというと、一次独立であるということは「長さが0でなく、各ベクトルが平行でない」ということである。すなわち外積が0になるときは各ベクトルが平行であるということから上の条件式が成り立つのである。

 

接平面を求める

正則の条件式が成り立つとき、[math] S \left( u _ { 0 } , v _ { 0 } \right)[/math]を始点とした、[math]\frac { \partial S } { \partial u } \left( u _ { 0 } , v _ { 0 } \right) , \frac { \partial S } { \partial v } \left( u _ { 0 } , v _ { 0 } \right) [/math]が生成する平面は以下のように表せる。

 

$$
\begin{array} { l } { \mathrm { T } _ { \left( \mathrm { u } _ { \mathrm { a } } , v _ { 0 } \right) } \mathrm { S } = \mathbb { R } \frac { \partial S } { \partial u } \left( u _ { 0 } , v _ { 0 } \right) \oplus \mathbb { R } \frac { \partial S } { \partial v } \left( u _ { 0 } , v _ { 0 } \right) } \end{array}
$$

 

$$
= \left\{ a \frac { \partial S } { \partial u } \left( u _ { 0 } , v _ { 0 } \right) + b \frac { \partial S } { \partial v } \left( u _ { 0 } , v _ { 0 } \right) | a , b \in \mathbb { R } \right\}
$$

 

この式は曲面に接する接平面となります。

最後まで読んで頂き、ありがとうございました。
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プロフィール

@KATUO

現在都内私立大学に通う大学4年生。大学では電気電子工学を専攻。大学2年の夏頃に、プログラマーの長期インターン募集の広告が目に止まり、独学でプログラミングの学習を開始。現在は「ToC向け大規模サービスを運営するメガベンチャー」と「AIスタートアップ」でインターンで修行中。2020年4月からwebエンジニアとして社会人生活スタート。

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