KATUBLO
2019年02月16日

【確率統計】2次元確率分布について解説

ゴール

2次元確率分布、同時確率分布の周辺知識がわかっている状態

 

2次元確率分布とは?

確率変数が2つあるとする。これをX、Yとする。2次元確率分布というのは「指定のX」かつ「指定のY」両方を満たす確率分布のことを指す。数式を交えて解説する。

 

離散的な場合

確率変数X、Yの取る値を以下のように定義する。

$$
X \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \cdots x _ { m } \right)
$$

$$
Y \left( y _ { 1 } , y _ { 2 } , \dots y _ { n } \right)
$$

以下のようにまとめる。

$$
\begin{array} { l } { X = x _ { i } ( i = 1,2 , \cdots m ) } \\ { Y = y _ { j } ( j = 1,2 , \cdots n ) } \end{array}
$$

 

Xが[math] x_i[/math]かつYが[math] y_j[/math]の時とる確率を以下のように定義する。

$$
P \left( X = x _ { i } , Y = y _ { j } \right) = P _ { i j }
$$

 

確率密度は以下のように定義できる。

$$
f ( x , y ) = \left\{ \begin{array} { c c } { p _ { i j } } & { \left( x = x _ { i } , y = y _ { j } \right) } \\ { 0 } \end{array} \right.
$$

 

また分布関数は以下のように定義できる。

 

$$
F ( x , y ) = P ( X \leqq x , Y \leqq y ) = \sum _ { x _ { i } \leq x } \sum _ { y _ { j } \leq y } f \left( x _ { i } , y _ { j } \right)
$$

 

もう少し、詳しい情報を追加する。確率密度、分布関数が与えられていることを「同時確率分布(simultaneous probablity distributionn)」という。

 

連続値の場合

一般的に以下の式が成り立つ。

$$
\sum _ { i = 1 } ^ { m } \sum _ { j = 1 } ^ { n } f \left( x _ { i } , y _ { j } \right) = 1
$$

全ての確率を足し合わせたら1になるのは自明。上の式は以下の性質を持つ。

 

$$
F ( \infty , \infty ) = P ( X \leqq \infty , Y \leqq \infty ) = 1
$$

$$
F ( – \infty , y ) = P ( X \leqq – \infty , Y ( \leqq y ) = 0
$$

$$
F ( x , – \infty ) = P ( x \leqq x , y \leq – \infty ) = 0
$$

 

1つ目は確率変数X、Yが取る値の範囲が無限である=全ての確率を含む ことから1になることは自明である。2つ目と3つ目はそれぞれどちらか1つの確率変数の取る範囲が-∞であるため、条件に合致する確率変数をもたないことから0となる。

 

確率密度は以下の式に含まれる。

$$
P ( x < X \leq x + \Delta x , y \leq y \leq Y + \Delta y ) = \int _ { x } ^ { x + \Delta x } d x ^ { \prime } \int _ { y } ^ { y + \Delta y } d y ^ { \prime } f \left( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } \right)
$$

 

これは確率密度を指定区間で積分すると指定区間での確率を得ることができるを意味する。

 

また分布関数は以下のように定義できる。

 

$$
F ( x , y ) = \int _ { – \infty } ^ { x } d x \int _ { – \infty } ^ { y } d y ^ { \prime } f \left( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } \right)
$$

 

 

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ありがとうございました。
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プロフィール

@KATUO

現在都内私立大学に通う大学3年生。大学では電気電子工学を専攻。大学2年の夏頃に、プログラマーの長期インターン募集の広告が目に止まり、独学でプログラミングの学習をスタート。この時期からプログラミングにどハマりし、現在までに「AIスタートアップ」「Webマーケティング会社」でエンジニアとしての業務に没頭してきた。

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