《命題論理》3つの証明方法、直接法、対偶法、背理法をわかりやすく解説

大学数学

証明の基本

仮定と結論

証明をするにあたって基本となる考え方は仮定と結論です。ちょっと数学チックにまとめると

ある仮定(p)のもとで、ある結論(q)が成り立つ。

となります。これを記号を用いて表すと

$$
p \rightarrow q
$$

この命題が真であることを証明できれば、

$$
p \Rightarrow q
$$

と書くことができます。

命題の特性

ここで一旦命題の特性について整理しておきます。いかに p \rightarrow qの真理値表をまとめました。

p q p→q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

ここで超大切なのがp が偽の場合、p \rightarrow qは常に真になるということです。これ一般的な例に落とし込むと「人間は哺乳類でない」→「ゴリラは哺乳類だ」この命題が正しいということになります。間違った仮定の場合はp \rightarrow qは全て真とみなします。全てモヤモヤすると思いますが、これを論理では真とするのが決まりなのです。なので混乱すると思いますが、しっかり覚えておきましょう。

3つの証明方法

仮定と結論を使って証明を行うにあたって3つの証明の方法があります。

  1. 直接法
  2. 待遇法
  3. 背理法

ではこれらを順に解説していきますね。

ちなみに以下の命題をそれぞれの3つの方法で証明していきます。

$$x = y ならば  x^2-2xy+y^2 =0  である$$

直接法

直接法とは

直接法というのは

$$pが真であると仮定して、qが真であることを示す$$

方法です。先程もまとめましたが、pが偽であればp \rightarrow qは全て真になります。

直接法を用いて例題を証明する

x = y が真であると仮定する。

x^2-2xy+y^2 =0 の式に代入すると

$$ x^2-2x^2+x^2 = 0$$

$$ 0 = 0$$

となり、命題が真であることが証明された。

対偶法

対偶法とは

対偶は高校数学で習ったものです。この対偶法というのはp \rightarrow q $$  \overline { q } \rightarrow \overline { p }は同値であることを利用して、

$$ \overline { q } \rightarrow \overline { p }が真であることを示し p \rightarrow q が真であることを示す$$

証明方法です。

対偶法を用いて例題を証明する

対偶法なので、

$$
x ^ { 2 } – 2 x y + y ^ { 2 } \neq 0  ならば
$$

$$
x \neq y
$$

を証明すれば良いことになります。

$$
x ^ { 2 } – 2 x y + y ^ { 2 } \neq 0
$$

$$
\begin{array} { c } { ( x – y ) ^ { 2 } \neq 0 } \end{array}
$$

よって

$$
x – y \neq 0
$$

であるので、命題は真であることがわかりました。

背理法

背理法とは

最後に背理法を紹介します。背理法というのは「仮定pを真と仮定して、結論qを否定すると矛盾がでる」という倫理の性質を利用した証明方法です。

$$ p \wedge \overline { q } が偽になることを示す$$

という証明方法です。

背理法を用いて例題を証明する

$$
x = y
$$

として、結論を否定すると

$$
x ^ { 2 } – 2 x y + y ^ { 2 } \neq 0
$$

となります。

$$
x ^ { 2 } – 2 x y + y ^ { 2 } \neq 0
$$

$$
\begin{array} { c } { ( x – y ) ^ { 2 } \neq 0 } \end{array}
$$

x = y であるためこの数式は偽です。よって矛盾が生じるので命題は真になります。

おすすめの参考書

数学の基礎体力をつけるためのろんりの練習帳

毎日電車の中などの隙間時間でコツコツと読み進めると、数学の論理系の知識をかなり網羅できます。ロジカルシンキングが数学的な部分をしっかり固めることでよりできるようになると思います。

タイトルとURLをコピーしました