【線形代数】取り替え行列の定義を解説

大学数学

取り替え行列

取り替え行列の前提概念

まず初めに、座標平面で点Pを終点とするベクトルを考えることにします。このベクトルは標準基底 { e_1, e_2 }で以下の一次結合の形で表すことができます。

 

$$
\overrightarrow { O P } = x e _ { 1 } + y e _ { 2 }
$$

ここでこの平面空間 R^2の基底が \left\{ u _ { 1 } , u _ { 2 } \right\}とすると点Pは以下の一次結合の形でも表せます。

 

$$
\overrightarrow { O P } = X u _ { 1 } + Y u _ { 2 }
$$

 

ちなみに基底を使って表しているので、 [X,Y]  は1つに決まります。

取り替え行列を定義する

では次に取り替え行列の定義を解説していきます。V  R^nのm次元部分ベクトル空間だとします。この時

 

$$
\{ u \} = \left\{ u _ { 1 } , \ldots , u _ { m } \right\}
$$

$$
\{ v \} = \left\{ v _ { 1 } , \cdots , v _ { m } \right\}
$$

 

をm次元部分ベクトル空間の基底だとします。ちなみに基底というのは1つの空間に対して複数存在してもOKです。

このとき、 v_ j のベクトルは V の基底、 { u _ { 1 } , \ldots , u _ { m } } の一次結合の形で表せるはずです。これをまとめると以下の式になります。

 

$$
v _ { j } = \sum _ { i = 1 } ^ { m } t _ { i j } u _ { i }
$$

 

このtの部分を行列式にまとめた T = \left[ t _ { v } \right]を取り替え行列っていうんです。名前の通り、基底を取り替えたい時に使用します。

 

線形代数学おすすめの参考書

最後に個人的におすすめと思った参考書のリンクを貼っておきますね。

 

 

やっぱきちんと本を買って勉強するのが一番理解が速いと思います。

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