KATUBLO | エンジニアの日常BLOG
2019年01月28日

【線形代数】取り替え行列の定義を解説

こんにちは。KATUOです。今回は「線形代数における取り替え行列の定義」について書いていこうと思います。

 

取り替え行列の定義

 

[math]\overrightarrow { o p } = x e_{1} + y e _ { 2 } \tag{1}[/math]

[math]eは標準基底 [/math]

 

[math]R^2の基底を\left\{ u _ { 1 } , u _ { 2 } \right\}とすると [/math]

[math] \overrightarrow { o p } = X u _ { 1 } +Yu _ { 2 } \tag{2} \\ と表すことができる.[/math]

 

[math]XをR^n のm次元部分ベクトル空間として [/math]

 

[math]\{ u \} = \left\{ u _ { 1 } , \dots , u _ { m } \right\} [/math]

[math]\{ v \} = \left\{ v _ { 1 } , \dots , v _ { m } \right\} [/math]

 

[math]をXの基底とする. [/math]

 

[math] この時にv_j は\left\{ u _ { 1 } , \dots , u _ { m } \right\}の一次結合の式で表される.[/math]

 

[math]v _ { j } = \sum _ { i = 1 } ^ { m } t _ { i j } u _ { i } \tag{3} [/math]

 

[math]のただ一通りで表されることになる. [/math]

 

[math](3)で定義されたt_ij を成分に持つm次正方行列 T=[t_ij]を[/math]

[math]基底 {u} を基底 {v} に取り替えるための取り替え行列と呼ぶ [/math]

 

これが定義です。行っていることは基底の取り替えを行なっています。基底というの部分ベクトル空間に幾つも存在します。他の基底に基準を変更したい時に、変換時のつじつまあわせに使うといったイメージで考えるとわかりやすいかもしれません。

 

取り替え行列を用いた定理

[math] R^nの基底を[/math]

 

[math] \{ u \} = \left\{ u _ { 1 } , \cdots , u _ { n } \right\}[/math]

[math] \{ v \} = \left\{ v _ { 1 } , \cdots , v _ { n } \right\}[/math]

 

[math] として[/math]

 

[math]\mathrm { U } = \left[ u _ { 1 } , \cdots , u _ { n } \right] [/math]

[math] V = \left[ v _ { 1 } , \cdots , v _ { n } \right][/math]

 

[math] と置く. [/math]

 

[math]基底{ u }から{ v }に取り替える時の取り替え行列Tは [/math]

[math]T = U ^ { – 1 } V となる. [/math]

 

取り替え行列も含む 良さげの参考書

最後に個人的によさげだなって思った参考書のリンクを貼っておきます。

 

まずはこの一冊から 意味がわかる線形代数 (BERET SCIENCE)

 

一冊でわかる 理系なら知っておきたい 数学の基本ノート[線形代数編]

 

やっぱちゃんとに本を買って勉強するのが一番理解が速いと思います。

最後まで読んで頂き、ありがとうございました。
SNS等でのシェアが頂ければ幸いです!

プロフィール

@KATUO

現在都内私立大学に通う大学4年生。大学では電気電子工学を専攻。大学2年の夏頃に、プログラマーの長期インターン募集の広告が目に止まり、独学でプログラミングの学習を開始。現在は「ToC向け大規模サービスを運営するメガベンチャー」と「AIスタートアップ」でインターンで修行中。2020年4月からwebエンジニアとして社会人生活スタート。

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