【線形代数学】1次独立と1次従属の違いを簡単に解説

大学数学

基本用語

1次独立、1次従属を考えるにあたって、周辺用語を整理していきます。

1次関係式

一次結合で書かれた式がイコール0の場合

$$
s a + t b + \dots + u c = 0
$$

これをまとめて、1次関係式といいます。

自明な1次関係式

s,t, \dots u  がすべて0である1次関係式を自明な1次関係式といいます。

非自明な1次関係式

s,t, \dots u の中で1つでも0でないものが存在する時、この1次関係式を自明でない1次関係式という。

1次独立と1次従属とは

用語の関係

まずそれぞれの違いを整理するために図を書きました。

この図を元に解説していきます。

1次独立である条件

$$
s a + t b + \dots + u c = 0
$$

この関係を満たす、 s,t\dots u s = t = \dots = u = 0のときのみであるとき、この自明な1次関係式を1次独立といいます。

1次従属である条件

$$
s a + t b + \dots + u c = 0
$$

この関係を満たす、 s,t\dots u s = t = \dots = u = 0以外に存在する時、この非自明な1次関係式を1次従属といいます。

幾何学的な意味

結論から言うと、1次関係式を構成する各ベクトルが「互いに平行でない」かつ「長さが0でない」という条件を満たせばその1次関係式は1次独立になります。

 

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