KATUBLO
2019年01月28日

【線形代数学】基底についてわかりやすく解説

こんにちは。KATUOです。今回は理系なら大学1年生ぐらいに習うであろう、基底について解説していこうと思います。

 

基底とは

線型代数学における基底(きてい、英: basis)は、線型独立なベクトルから成る集合で、そのベクトルの(有限個の)線型結合として、与えられたベクトル空間の全てのベクトルを表すことができるものを言う。もう少し緩やかな言い方をすれば、基底は(基底ベクトルに決まった順番が与えられたものとして)「座標系」を定めるようなベクトルの集合である[1]。硬い表現で言うならば、基底とは線型独立な生成系のことである。

引用:「基底 (線型代数学)」

https://ja.wikipedia.org/wiki/基底_(線型代数学)

 

まとめると、与えられたある範囲のベクトルをすべて表すことができるベクトルの集合を基底と言います。

 

基底の定義

 

[math]\mathbf { U } : \mathbb { R } ^ { n } [/math]の部分ベクトル空間において

$$
a _ { 1 } , \cdots , a _ { m } \in U
$$

[math] に対して以下の2つの性質が成り立つ時[/math]

 

[math]xをa _ { 1 } , \cdots , a _ { n }の一次結合で表すことができる\\ ( x \in V ) \tag{1}[/math]

 

[math]xの表し方がただ一通りである \tag{2} [/math]

 

[math] (1)と(2)を同時に満たすとき\left\{ a _ { 1 } , \cdots , a _ { n } \right\}はUの基底であるという[/math]

 

イラストで基底の概念を理解する

抽象イラストで説明するとこんな感じ

ちなみにxは任意の値である。つまり、基底というベクトル集合を用いればそのベクトル集合の一次結合の形でUの要素を全て表現することができます。

 

基底の性質

基底であるということは以下の性質を持つことも確認しておきたいです。

 

[math] \left\{ a _ { 1 } , \cdots , a _ { m } \right\}を\\ R^n の部分ベクトル空間Uの基底とする. [/math]

[math]この時, \left\{ a _ { 1 } , \cdots , a _ { m } \right\}は一次独立である.  [/math]

 

この性質を証明してみる

[math] 0 = 0 a _ { 1 } + 0 a _ { 2 } + \cdots + 0 a _ { m } \tag{1}[/math]

 

[math] が成り立つと仮定する.[/math]

[math]c _ { 1 } , \cdots , c _ { n } \in R として [/math]

 

[math]0 = c _ { 1 } a _ { 1 } + c _ { 2 } a _ { 2 } + \dots + c _ { m } a _ { m } \tag{2} [/math]

 

[math] \left\{ a _ { 1 } , \cdots , a _ { n } \right\}は基底であるため, \\ 0を表す時, 表し方は1通りである. [/math]

[math] ここで, (1)と(2)を比べると[/math]

[math]c _ { 1 } = 0 = c _ { 2 } = \dots = c _ { m }となるので \\ \left\{ a _ { 1 } , \cdots , a _ { m } \right\}は基底である. [/math]

 

大切なことは「基底であるということは一次独立であると同値である」という点ですね。

 

次元という概念

基底を構成するベクトル数の呼び方があるのでここで紹介します。

次元とは

また、一つのベクトル空間が有するどの基底も、必ず同じ決まった個数(濃度)のベクトルからなる。この決まった数を、そのベクトル空間の次元と呼ぶ。

引用:「基底 (線型代数学)」

https://ja.wikipedia.org/wiki/基底_(線型代数学)

 

まず前提として、1つのベクトル空間でとる基底というのは複数あります。このように基底が複数ある場合でもその基底が持つベクトル数は全て同じであるということを言っています。

 

[math]R^n の部分ベクトル空間のある基底  [/math]

[math]\left\{ a _ { 1 } , \cdots , a _ { n } \right\}  \tag{1}[/math]

 

[math]別の基底 [/math]

[math]\left\{ b _ { 1 } , \cdots , b _ { l } \right\} \tag{2} [/math]

 

(1)はm個、(2)はl個のベクトルを持っていますが、この時[math]m=l [/math]が成り立つという特性があります。また一般的にベクトル空間Uの次元を表すときは[math]\operatorname { dim } U[/math]という書き方をします。

最後まで読んで頂き、ありがとうございました。
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プロフィール

@KATUO

現在都内私立大学に通う大学4年生。大学では電気電子工学を専攻。大学2年の夏頃に、プログラマーの長期インターン募集の広告が目に止まり、独学でプログラミングの学習をスタート。この時期からプログラミングにどハマりし、現在までに「AIスタートアップ」「Webマーケティング会社」でエンジニアとしての業務に没頭してきた。

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