【線形代数学】基底についてわかりやすく解説

大学数学

基底について

基底の定義

線形空間V があるとします。この空間が0でないとき、あるベクトル集合a _ { 1 } , a _ { 2 } , \dots , a _ { r } が存在するとします。以下の条件を満たしているとき、このベクトル集合を基底と言います。

 

① 一次独立である

② 基底を使って、線形空間Vの要素を一次結合の形で表せる

 

これだけ読んで、はいそうですか。と言える方はそもそもこの記事を読まないと思います。では1つずつ解説していきます。

 

基底の条件①

一次独立

これに関しては別の記事で紹介しているのでそちらを読んでください。

https://katuo-ai.com/2019/01/28/linearly_indepen…nearly_dependent/

 

端的にいうと、全てのベクトルが同じ向きを向いていないという条件です。

 

 

基底の条件②

線形空間Vを一次結合で表記可能

a _ { 1 } , \cdots , a _ { m } \in V これらa_m が基底であるとき、線型空間V の要素は以下の一次結合の要素で表現できます。

 

$$ x_1 a _ { 1 } + x_2 a _ { 2 } + \cdots + x_m a _ { m }$$

 

図でイメージするなら以下のような感じでしょうか?複数のベクトルを足し合わせることで、基底の親の空間を全て表現することができます。これって平行だと実現できないことが理解できますよね?3次元なら少なくとも3方向異なる方向に向いているのがまず必要って直感的に理解できると思います。

 

おすすめの参考書

今回のような、線形代数学の基礎をしっかり学びたい方は以下の参考書を読むといいかもしれません。

 

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