KATUBLO
2019年01月28日

【線形代数学】一次結合(線型結合)についてわかりやく解説

こんにちは。KATUOです。今回は一次結合と部分ベクトルの定義について解説していこうと思います。

 

一次結合の定義

一次結合は別名線型結合と呼ばれます。

線型結合(せんけいけつごう、英: linear combination)は、線型代数学およびその関連分野で用いられる中心的な概念の一つで、平たく言えば、ベクトルの定数倍と加え合わせのことである。一次結合あるいは線型和とも呼ぶ。

引用:「線型結合」

https://ja.wikipedia.org/wiki/線型結合

 

式を使ってもうしこし噛み砕いて考えて見ましょう。

 

一次結合の定義をもっと簡単に

 

[math]a,b,c\ を平面ベクトルとする [/math]

[math] a,b,c\ の一次結合というのは[/math]

 

[math] s a + t b + u c\hspace{10mm}( s , t , u \in R )[/math]

 

[math]を a,b,c \ の一次結合という [/math]

 

 

a,b,cの一次結合というのは、単純にa,b,cの要素を全て使用して表現できるベクトルのことを言います。

 

 

部分ベクトル空間

線型結合を扱う上で、部分ベクトル空間という概念が登場するので、部分ベクトル空間について解説していきます。

 

部分ベクトル空間の定義

数学、とくに線型代数学において、線型部分空間(せんけいぶぶんくうかん、linear subspace)または部分ベクトル空間(ぶぶんベクトルくうかん、vector subspace)とは、ベクトル空間の部分集合で、それ自身が元の空間の演算により線型空間になっているもののことである。

引用:「線型部分空間」

https://ja.wikipedia.org/wiki/線型部分空間

 

まとめると、ベクトル空間の部分集合であり、線型空間(ベクトル空間)になっている空間のことを指します。

 

数式で部分ベクトル空間を理解する

 

[math] Uを数ベクトル空間R^nの空でない部分集合とする.[/math]

 

[math] a , b \in U \quad \text { s,t } \in R に対して,[/math]

[math]s a + t b \in U[/math]

 

[math]が成り立つ時, UはR^nの部分ベクトル空間であるという [/math]

 

 

部分ベクトル空間の有名な定理

 

部分ベクトル空間の有名な定理[1]

 

[math]a _ { 1 } , \cdots , a _ { r } , b \in \mathbb { R } ^ { n }を満たすベクトルが存在する.[/math]

 

[math](n,r)行列 A, (n,r+1)行列\widetilde { A }は以下のように表される. [/math]

 

[math]A = \left[ a _ { 1 } , \cdots , a _ { r } \right] [/math]

[math] \widetilde { A } = \left[ a , \cdots , a _ { r } , b \right][/math]

 

[math]とするとき [/math]

 

[math] b \in \left < a _ { 1 }  \cdots , a _ { r }> \right. \tag{1}[/math]

 

[math]が成り立つ. [/math]

 

[math] b \in \left < a _ { 1 } \cdots , a _ { r }> \quad \Rightarrow\right.[/math]

[math] x _ { 1 } a _ { 1 } + x _ { 2 } a _ { 2 } + \dots + x _ { r } a _ { r } = b[/math]

[math] が解を持つことと同値.[/math]

 

 

2つ目の部分をまとめると、[math] <a_1, … ,a_r>[/math]が張る部分ベクトル空間にbが含まれるなら、[math]a_1, … ,a_r [/math]の一次結合でbを表わすことができるという定理。

 

部分ベクトル空間の有名な定理[2]

[math]\operatorname { rank } ( A ) = \operatorname { rank } ( \widetilde A )  \tag{1}[/math]

[math]が成り立つ [/math]

 

[math][証明] [/math]

[math]Ax = bが解を持つための必要十分条件は [/math]

[math]\operatorname { rank } ( A ) = \operatorname { rank } ( \widetilde A )  \tag{1} [/math]

 

[math]Ax = b[/math](bは0ではない)を非同次連立方程式といいます。このとき、上のランクに関する式が成り立ちます。

最後まで読んで頂き、ありがとうございました。
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プロフィール

@KATUO

現在都内私立大学に通う大学4年生。大学では電気電子工学を専攻。大学2年の夏頃に、プログラマーの長期インターン募集の広告が目に止まり、独学でプログラミングの学習をスタート。この時期からプログラミングにどハマりし、現在までに「AIスタートアップ」「Webマーケティング会社」でエンジニアとしての業務に没頭してきた。

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