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2019年01月14日

【線形代数】ラグランジュの未定乗数方の定義と例題を解説

こんにちは。KATUOです。今回はラグランジュの未定乗数方について解説していきたいと思います。

 

ラグランジュの未定乗数方とは

ラグランジュの未定乗数法(ラグランジュのみていじょうすうほう、英: method of Lagrange multiplier)とは、束縛条件のもとで最適化を行うための数学(解析学)的な方法である。いくつかの変数に対して、いくつかの関数の値を固定するという束縛条件のもとで、別のある1つの関数の極値を求めるという問題を考える。各束縛条件に対して定数(未定乗数、Lagrange multiplier)を用意し、これらを係数とする線形結合を新しい関数(未定乗数も新たな変数とする)として考えることで、束縛問題を普通の極値問題として解くことができる方法である。

引用:「ラグランジュの未定乗数法」

https://ja.wikipedia.org/wiki/ラグランジュの未定乗数法

 

まとめると、複数の変数が存在する状況下で複数の変数を固定して、1つの関数の極値を求めるという手法です。

 

ラグランジュの未定乗数方の定義

ipadに定義と証明をまとめたので以下に添付しときます。 見づらくてすみません。

 

定義をlatexでまとめておきます。

 

[math] f(x,y) が (x,y)=(a,b) に置いて\\極値を取る(g(x,y)=0)かつ,\\(a,b)が曲線g(x,y)=0 の特異点でない時[/math]

$$
f _ { x } ( a , b ) + \lambda y _ { x } ( a , b ) = 0
$$$$
f _ { y } ( a , b ) + \lambda y _ { y } ( a , b ) = 0
$$

[math]( \lambda :定数) [/math] [math]が存在する. [/math]

 

ラグランジュの未定乗数方の証明

 

 

 

ラグランジュの未定乗数方の例題

 

 

 

 

 

 

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プロフィール

@KATUO

現在都内私立大学に通う大学4年生。大学では電気電子工学を専攻。大学2年の夏頃に、プログラマーの長期インターン募集の広告が目に止まり、独学でプログラミングの学習を開始。現在は「ToC向け大規模サービスを運営するメガベンチャー」と「AIスタートアップ」でインターンで修行中。2020年4月からwebエンジニアとして社会人生活スタート。

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