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2019年01月07日

【線形代数】座標軸の回転

座標の変換を行う

座標軸を回転させる

通常2次元平面で数式を考えるときはx軸、y軸で考えると思います。

これらの座標を回転させて、X軸、Y軸を新しく定義します。

このように座標軸を回転させて、その新しい座標軸で物事を考えられるようにする方法を考えます。

正規直交基底を考える

[math]P(x,y)[/math]を終点とする位置ベクトル[math]\vec{OP}[/math]は

 

$$
e _ { 1 } =^t [ 1,0 ] \quad e _ { 2 } = ^t [ 0,1 ]
$$

 

として、以下の一次結合の形で表わすことができます。

$$
\vec { O P }= \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { y } \end{array} \right] = x e_{1} + y e _ { 2 }
$$

 

座標を回転させる

新しい基底を定義する

$$
\vec { O P } = x e _ { i } + y e _ { 2 }
$$

 

ここで先ほどの[math]e_{1},e_{2} [/math]をθ回転させたものを[math]u_1 ,u_2[/math]を考えます。

もともと[math] e_1[/math]は0度回転させたものとして考えることができるので、三角関数を使って表すと以下のようになります。

$$
e _ { 1 } = ^{t} [ \cos ( 0 ) , \sin ( 0 ) ]
$$

ではθ回転させてみましょう。

$$
u_1 = ^ { L } [ \cos \theta , \sin \theta  ]
$$

 

 

次に[math]e_2 [/math]ですが、y軸の方向を考えると始め90度回転しているので三角関数を使った形ですと以下のようにおくことができます。

 

$$
e _ {2} =  ^ { t } \left[ \cos \left( 90 ^ { \circ } \right) +\sin \left( 90 ^ { \circ } \right) \right]
$$

 

この式をθ回転させます。

 

$$
u_2 = ^ { t }\left[ \cos \left( 90 ^ { 9 } + \theta \right) +\sin \left( 90 ^ { \circ } + \theta \right) \right]
$$

 

三角関数の合成の公式を使って最終的には以下の式になります。

 

$$
u_2 =  [ – \sin \theta +\cos \theta ]
$$

 

 

[math]u_1 ,u_2[/math] は[math]R^2[/math]の基底ですので、[math]\vec { O P }[/math]は[math]u_1 ,u_2[/math] の一次結合で表すことができます。

 

$$\vec { O P } = x e _ { i } + y e _ { 2 } = Xu_1+Yu_2 $$

 

この式を行列式で表現すると以下の式にまとめることができます。

 

$$
\left[ \begin{array} { l } { x } \\ { y } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c } { \cos \theta } & { – \sin \theta } \\ { \sin \theta } & { \cos \theta } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { X } \\ { Y } \end{array} \right]
$$

 

おすすめの参考書

今回のような、線形代数学の基礎をしっかり学びたい方は以下の参考書を読むといいかもしれません。

最後まで読んで頂き、ありがとうございました。
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プロフィール

@KATUO

現在都内私立大学に通う大学4年生。大学では電気電子工学を専攻。大学2年の夏頃に、プログラマーの長期インターン募集の広告が目に止まり、独学でプログラミングの学習を開始。現在は「ToC向け大規模サービスを運営するメガベンチャー」と「AIスタートアップ」でインターンで修行中。2020年4月からwebエンジニアとして社会人生活スタート。

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