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2018年12月29日

【電気電子工学科】規約効率が鉄損=銅損の時最大になる理由を解説する

やること

変圧器の規約効率が最大になるときの条件を数式から理解する

 

 

銅損と鉄損

銅損と鉄損は以下の式で表される.

銅損

$$
\mathbf { W } _ { \mathrm { os } } = \mathrm { I } _ { 0 } ^ { 2 } \times r _ { 2 } [ \mathrm { W } ] …(1)
$$

 

鉄損

$$
\mathbf { W } _ { \mathrm { i } } = \mathrm { W } _ { \mathrm { o } } – \mathrm { W } _ { \mathrm { os } } [ \mathrm { W } ] …(2)
$$

 

導出

 

銅損

巻線抵抗をn倍にしたとき, 電線の長さもn倍になる. また電線の長さをn倍にするためには, 電線の断面積を[math]1/n[/math]倍する必要がある. 巻線抵抗の性質上, 抵抗値は電線の長さに比例し, 電線の断面積に反比例する. つまり, 巻き数をn倍にすると, 抵抗値は巻線抵抗は[math]n^2[/math]となる. 銅損は(1)式より, 抵抗値をかけた値で表されるため, 簡略的に銅損を表すと

 

$$ P_d = \frac{a}{n^2} (3)$$

 

a:係数

n:巻き数

 

鉄損

鉄損は性質上磁束密度の二乗に比例することが知られている. 磁束密度は巻き数に反比例するため, 鉄損は巻き数n倍になると, [math]1/n^2[/math]倍になることがわかる. 簡略的に鉄損を表すと

 

$$P_t = b/N^2 (4)$$

 

合計損失

合計損失は銅損と鉄損を足せば表すことができる.損失の最小値を求めるには微分し, 微分したものが0になればよいので,

$$
\frac { d p } { d N } = 2 a N ^ { 2 } – \frac { 2 b } { N ^ { 2 } }
$$

 

$$
\begin{array} { l } { \frac { d p } { d N } = 0 } \\ { 2 a N = \frac { 2 b } { N ^ { 2} } } \\ { N ^ { 4 } = \frac { b } { a } } \end{array}
$$

 

これを(3), (4)式に代入すると

 

$$
\begin{array} { l } { P _ { d } = a \sqrt { \frac { b } { a } } = \sqrt { a b } } \\ { p _ { t } = \frac { b } { \sqrt { \frac { b } { a } } } = \sqrt { a b } } \end{array}
$$

 

となり銅損と鉄損が等しいとき, 合計損がもっともすくなくなり, 効率がもっとも高くなることがわかる.

 

グラフ

大学の実験で実際に確かめたので参考程度にグラフを貼っておく. 確かに, 銅損と鉄損が等しいときに, 効率が最大となっていることがわかる.

 

 

最後まで読んで頂き、ありがとうございました。
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プロフィール

@KATUO

現在都内私立大学に通う大学4年生。大学では電気電子工学を専攻。大学2年の夏頃に、プログラマーの長期インターン募集の広告が目に止まり、独学でプログラミングの学習を開始。現在は「ToC向け大規模サービスを運営するメガベンチャー」と「AIスタートアップ」でインターンで修行中。2020年4月からwebエンジニアとして社会人生活スタート。

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