【ベクトル解析】単位接線ベクトルと主法線ベクトルを定義&理解!

大学数学

線素ベクトルについて理解しよう

線素ベクトルを定義する

まず以下のベクトルを定義します。

$$
r = r ( u )
$$

このベクトルの微小変化は以下のように表せます。

$$
r ( u ) + \Delta r = r ( u + \Delta r )
$$

$$
\lim _ { \Delta u \rightarrow 0 } \frac { r ( u + \Delta u ) – r ( u ) } { \Delta u } = \lim _ { \Delta u \rightarrow 0 } \frac { \Delta r } { \Delta u } = \frac { d r } { d u }
$$

 

drのことを線素ベクトルといいます。

 

単位接線ベクトルについて理解しよう

線素ベクトルを違う式で表現する

drの長さは以下のようにも定義することができます。

$$
d s = | d r | = \frac { | d r | } { d u } d u = \left| \frac { d r } { d u } \right| d u
$$

 

線素ベクトルをuで微分する

線素ベクトルをuで微分したものは、ベクトルの接線方向を表しているので

 

$$
| d r | = d s
$$

 

となり、さらにこの式をuで微分すると

$$
\frac { d r } { d u } = \frac { d r } { d s } \cdot \frac { d s } { d u } = \frac { d r } { d s } \cdot \frac { | d r | } { d u } = \frac { d r } { d s } \cdot \frac { | d r | } { | d s | }
$$

$$
\frac { d r } { d s } = \frac { \frac { d r } { d u } } { \frac { | d r | } { | d s | } }
$$

 

最後の行で単位ベクトルに変換することで、単位接線ベクトルが定義できます。

 

主法線ベクトルを定義を解説

 

 

主接線ベクトルをtとします。

$$
t = \frac { d r } { d s }
$$

ここで単位ベクトルの内積は1であることを確認しておきます。

$$
t \cdot t = 1
$$

 

内積の公式を確認

内積の公式は以下のようになります。気になる方はググってみてください。

$$
\frac { d } { d t } ( A \cdot B ) = \frac { d A } { d t } \cdot B + A \cdot \frac { d B } { d t }
$$

 

この内積の公式を利用して、単位ベクトルの内積を微分すると

$$
\frac { d } { d s } ( t \cdot t ) = \frac { d t } { d s } \cdot t + t \cdot \frac { d t } { d s }
$$

$$
= 2 t \cdot \frac { d t } { d s } = 0
$$

$$
t \cdot \frac { d t } { d s } = 0
$$

となり、最後の式を見ると単位ベクトルと、線素ベクトルをtで微分したものの内積は0になる、ここで単位ベクトルをsで微分したものを主法線ベクトルと定義され、これが主法線ベクトルと呼ばれるものの定義となります。

 

単位主法線ベクトルも定義しよう

また同時に単位主法線ベクトルはも求めておきましょう。

$$
N = \frac { d t } { d s }
$$

$$
n = \frac { N } { | N | } = \frac { \frac { d t } { d s } } { \left| \frac { d t } { d s } \right| }
$$

 

 

主法線ベクトルを別の式で表してみる

これまで導出した式を用いて、主法線ベクトルを異なる式で表現する。

$$
N = \frac { d t } { d s } = \frac { d t } { d u } \cdot \frac { d u } { d s } = \frac { d t } { d u } \left| \frac { d u } { d r } \right| = \frac { \frac { d t } { d u } } { \left| \frac { d r } { d u } \right| }
$$

uは助変数と呼ばれ、変換のために一時的に用いられる変数である。また主法線ベクトルを以下のように置き換える。

$$
\left| \frac { d t } { d s } \right| = k
$$

$$
\frac { d t } { d s } = n k
$$

 

 

曲率と曲率半径を定義する

単位ベクトルの微小値Δtを求める

t(s)とt(s+Δs)の間の角度をθと置き、Δtを求めてみよう。

 

 

 

ここでtanθを用いて以下のようにすると、ΔtはΔθと同値になります。

$$
| \Delta t | = | t ( s ) \Delta \theta | = | t ( s ) | | \Delta \theta | = | \Delta \theta |
$$

これはθはほぼゼロであるため、

$$
\theta = 0
$$

$$
\tan \theta = \theta
$$

と考えることができるからです。

 

曲率を求める

結論からいうと曲率は以下のように求めることができます。

$$
K = \left| \frac { d t } { d s } \right| = \left| \frac { \Delta t } { \Delta s } \right| = \frac { | \Delta \theta | } { | \Delta s | }
$$

$$
| \Delta \theta | = K | \Delta s |
$$

ここで、κが大きければ、θが大きくなることが上の式からわかりますね。曲率というのは曲がり具合のことを表していることがわかります。

 

 

曲率半径を求める

またκを逆数にとった値をρとして以下の変形を行います。

$$
\frac { 1 } { K } = \rho
$$

$$
\frac { 1 } { \rho } = \left| \frac { \Delta \theta } { \Delta s } \right|
$$

$$
| \Delta s | = \rho | \Delta \theta |
$$

 

ここで孤の長さを求める公式と照らし合わせるとρは瞬間的な半径を表していることがわかりますね。曲率半径というのです。

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