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2018年10月25日

【電気回路】フェーザ表示とは?解説してみた

こんにちは。KATUOです。今回はフェーザ表示について書いていこうと思います。

 

フェーザ表示とは

フェーザ表示(フェーザひょうじ、英: phasor)とは、電気工学や波動光学などにおいて正弦信号を複素数で表現する表示方法である。主に線型回路の交流解析に使用される。線型な電気回路において、本来は微分方程式の求解問題である定常的な振る舞いの解析を、フェーザ表示を利用することでより簡単な代数方程式(特に連立一次方程式)の求解問題に帰着させることができる。

引用:「フェーザ表示」

https://ja.wikipedia.org/wiki/フェーザ表示

 

まとめると、正弦信号を複素数で表現する方法です。

 

フェーザ表示を導出する

[math]正弦信号 s(t)が存在し, \\ この式は以下のように定義できるとする. [/math]

$$
s ( t ) = A \sin ( \omega t + \theta )  \tag{1}
$$

$$
s ( t ) = \mathfrak { J } [ S \exp ( j \omega t ) ] \tag{2}
$$

$$
S = A \exp ( j \theta )   \tag{3}
$$

 

 

この中に含まれる文字Sは(3)の式で表されます。またこのときのSを信号s(t)のフェーザ、もしくはフェーザ表示と呼ばれます。複素数で正弦信号を表せていることがわかるかと思います。

 

フェーザ表示導出 オイラーの公式を使う

では(1)から(2)の変換方法について解説していきましょう。オイラーの公式を用いることで簡単に変形することができます。

$$ e ^ { j ( \omega t + \theta ) } = \cos ( \omega t + \theta ) + i \sin ( \omega t + \theta ) $$

$$
A \exp ( j \omega t + j \theta ) = A \{ \cos ( u t + \theta ) + i \sin ( w t + \theta ) \}
$$

$$
\mathfrak { J }[ A\exp {j \omega t + j \theta) } ] = A \sin ( \omega t + \theta )
$$

[math]\mathfrak { J }[任意の数]は任意の数の虚部を表します[/math]

[math]S = A \exp ( j \theta )[/math]と置く。

$$
\mathfrak { J }[ \operatorname { S exp } ( j \omega t ) ] = s ( t )
$$

とすることで(1)から(2)の形に変更することができる。

フェーザの性質

フェーザはフーリエ変換と同じ性質を持っていることで知られる。というのは

$$
\frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \Leftrightarrow \mathrm { j } \omega
$$

の関係がある。左辺を微分することと右辺の式を掛けることは同値である。具体例をあげると

 

$$
v ( t ) = \mathfrak { I } [ V \exp ( j \omega t ) ]
$$

 

$$
\frac { \mathrm { d } v ( t ) } { \mathrm { d } t } = \mathfrak { I } [ j \omega V \exp ( \mathrm { j } \omega t ) ]
$$

 

となり、微分することと[math]j\omega [/math]をかけることは同値であるということが上の例からわかると思います。

 

参考文献:「フェーザ表示」

https://ja.wikipedia.org/wiki/フェーザ表示

 

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大学の教授が入学時にきっぱりいってました。また自分でもそう感じます。数学といっても確率・統計とかそっちのほうではなくて線形代数学とか幾何学系の学問の知識がかなり重要だと思ってます。その中でも特にわかりにくいフーリエ変換。また数学がまじでわかならないのに回路やるのはしんどいです。この先電気電子工学系で飯を食っていこうと考えているひとは基本をしっかり抑えていくことが大切かと思います。

 

最後まで読んで頂き、ありがとうございました。
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プロフィール

@KATUO

現在都内私立大学に通う大学4年生。大学では電気電子工学を専攻。大学2年の夏頃に、プログラマーの長期インターン募集の広告が目に止まり、独学でプログラミングの学習を開始。現在は「ToC向け大規模サービスを運営するメガベンチャー」と「AIスタートアップ」でインターンで修行中。2020年4月からwebエンジニアとして社会人生活スタート。

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