【電気回路】フェーザ表示とは?解説してみた

電気電子工学

フェーザ表示について

フェーザ表示とは

フェーザ表示(フェーザひょうじ、英: phasor)とは、電気工学や波動光学などにおいて正弦信号を複素数で表現する表示方法である。主に線型回路の交流解析に使用される。線型な電気回路において、本来は微分方程式の求解問題である定常的な振る舞いの解析を、フェーザ表示を利用することでより簡単な代数方程式(特に連立一次方程式)の求解問題に帰着させることができる。

引用:「フェーザ表示」

https://ja.wikipedia.org/wiki/フェーザ表示

wikipediaに書かれている内容をまとめると「正弦信号を複素数で表現する」方法をフェーザ表示と呼ぶようです。

フェーザ表示を導出

大雑把にフェーザ表示を導出

正弦信号 s(t) が存在するとします。

かなり雑な正弦波ですいません。この s(t) を以下のように定義します。

 

$$
s ( t ) = A \sin ( \omega t + \theta )  \tag{1}
$$

 

この(1)をオイラーの公式を用いて変形すると以下の(2)式になります。

 

$$
s ( t ) = \mathfrak { J } [ S \exp ( j \omega t ) ] \tag{2}
$$

 

この\mathfrak { J }(フラクトゥール書体のJ)は中身の虚部を示します。後程も使うので覚えておきましょう。この Sというのは絶対値A 偏角\theta で表記された以下の(3)式です。

 

$$
S = A \exp ( j \theta )   \tag{3}
$$

 

(3)の式をみると、(1)の正弦波の半径A 偏角\theta が使われていることがわかりますね。そしてここが大切!このとき「Sを信号s(t)のフェーザ、もしくはフェーザ表示」と呼びます!フェーザ表示というのは「正弦信号を複素数で表現する」でしたが、確かに複素数で正弦信号を表せていることが(3)式からわかりますね。とはいうものの式変換において、解説が省略されていたりしてわからない方が多いと思いますのでその点をさらに解説していきます。

フェーザ表示導出 オイラーの公式を使う

では(1)から(2)の変換方法について解説していきましょう。オイラーの公式を用いることで簡単に変形することができます。

 

$$ e ^ { j ( \omega t + \theta ) } = \cos ( \omega t + \theta ) + i \sin ( \omega t + \theta ) $$

$$
A \exp ( j \omega t + j \theta ) = A \{ \cos ( u t + \theta ) + i \sin ( w t + \theta ) \}
$$

$$
\mathfrak { J }[ A\exp {(j \omega t + j \theta) } ] = A \sin ( \omega t + \theta )
$$

 

$$
\mathfrak { J }[ \operatorname { S exp } ( j \omega t ) ] = s ( t )
$$

とすることで(1)から(2)の形に変更することができるんです。

フェーザの性質

フーリエ変換と同じ性質を持つ

フェーザはフーリエ変換と同じ性質を持っていることで知られています。というのは

$$
\frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \Leftrightarrow \mathrm { j } \omega
$$

の関係があるんです。左辺を微分することと右辺の式を掛けることは同値であるという性質です。具体例をあげると

 

$$
v ( t ) = \mathfrak { I } [ V \exp ( j \omega t ) ]
$$

 

$$
\frac { \mathrm { d } v ( t ) } { \mathrm { d } t } = \mathfrak { I } [ j \omega V \exp ( \mathrm { j } \omega t ) ]
$$

 

となり、微分することとj\omega をかけることは同値であるということが上の例からわかると思います。

 

参考文献:「フェーザ表示」

https://ja.wikipedia.org/wiki/フェーザ表示

タイトルとURLをコピーしました