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2018年10月21日

【電気電子工学】リサージュ図形の式を導出し、数学的意味を理解する。

こんにちは。KATUOです。今回は「リサージュ図形の式の導出」を中心に記事をかいていこうと思います。

 

リサージュ図形の定義

リサジュー図形(リサジューずけい、Lissajous figure)あるいはリサジュー曲線 (Lissajous curve) とは、互いに直交する二つの単振動を順序対として得られる点の軌跡が描く平面図形のこと。“リサージュ”と表記されることもある[1][2]。それぞれの振動の振幅、振動数、初期位相の違いによって、多様な曲線が描かれる。振動数の比が無理数の場合は閉曲線にはならず、軌道は有限の平行四辺形領域を稠密に埋める。

引用:「リサジュー図形」

「ウィキペディア (Wikipedia): フリー百科事典」

https://ja.wikipedia.org/wiki/リサジュー図形

 

簡単にまとめると、直交する2つの波の単振動部分に着目して、それぞれの波が描く軌跡を図形として考えるのがリサージュ図形です。

 

リサージュ図形はどのように生成される?

 

以下の図のようにx、y軸に正弦波を加える。

 

このとき、各周波数の比を整数比にした場合、周波数比と、位相差に応じた独自の図か生成される。この図と対照表を見比べることで、周波数比と位相差を知ることができるのである。これが数学的な意味ということである。

 

 

リサージュ図の式を導出する

 

リサージュ図の式

$$
\left( \frac { x } { V _ { a } } \right) ^ { 2 } – 2 \frac { x y } { V _ { a } V _ { b } } \cos \varphi + \left( \frac { y } { V _ { b } } \right) ^ { 2 } = K ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \varphi
$$

 

 

リサージュ図形の導出

先ほど例をあげた2つの正弦波を以下のように定義します。

 

 

$$
\begin{array} { l } { e _ { a } = V _ { a } \sin w t } \\ { e _ { b } = V _ { 0 } \sin ( w t + \phi ) } \end{array}
$$

 

φは位相差を表します。

 

次にeaを水平軸, ebを垂直軸に加え,この時の輝点の変位をx,yとすると

 

 

$$
\begin{array} { l } { x = k V _ { a } \sin w t } \\ { y = k V _ { 0 } \sin ( w t + \phi ) } \end{array}
$$

 

Kは比例定数とする(ここでは感度を表すが数学的には別に気にしなくていい)

 

 

ここでyを加法定理を使って変形する。

 

$$
y = k V _ { 0 } \sin ( w t + \phi )
$$

$$
y = k V _ { 0 } ( \sin wt \cos \phi + \cos w t \sin \phi )
$$

さらに式変形を続ける

 

$$
\sin w t = \frac { x } { k V _ { a } }
$$

$$
\begin{aligned} y & = K V _ { b } \cdot \frac { x } { k V _ { a } } \cdot \cos \phi + K V _ { b } \cos w t \sin \phi \\ & = \frac { V _ { 0 } } { V _ { a } } x \cos \phi + K V _ { b } \sin \phi \text { coswt } \end{aligned}
$$

 

$$
\left( \frac { x } { V _ { a } } – \frac { y } { V _ { b } \cos \phi } \right) ^ { 2 } = \left( – \frac { k V _ { b } \sin \varphi } { V _ { b } \cos \phi } \right) ^ { 2 }
$$

 

$$
\left( \frac { x } { V a } \right) ^ { 2 } – \frac { 2 x y } { V a V _ { b } \cos \phi } + \left( \frac { y } { V _ { 0 } \cos \phi } \right) ^ { 2 } = \left( K \frac { \sin \phi } { \cos \phi } \cos u i \right) ^ { 2 }  \dot (1)’
$$

 

 

 

 

途中で、x式を変形してy式に代入している。

次の計算が1番の肝。

x式を変形する。理由はsinωtとcosωtを打ち消すためだ。

 

$$
\left( \frac { x } { V a } \right) ^ { 2 } – \frac { 2 x y } { V a V _ { b } \cos \phi } + \left( \frac { y } { V _ { 0 } ( \omega \phi ) } \right) ^ { 2 } = \left( k \frac { \sin \phi } { \cos \phi } \cos wt \right) ^ { 2 }
$$

 

$$
( K \cos \phi ) ^ { 2 } \left( \frac { x} { K V _ { a } } \right) ^ { 2 } = \left( K \frac { \sin \phi } { \cos\phi } \right) ^ { 2 } ( \sin wt ) ^ { 2 }
$$

 

$$
\left( \frac { \sin \phi x } { \cos \phi {V _ { a } }} \right) ^ { 2 } = \left( k \frac { \sin \phi } { \cos \phi } \right) ^ { 2 } \left( \sin ^ { 2 } w \right)
$$

 

 

これにより(2)’が定義され、(1)’+(2)’を計算すると以下の式が導かれる。

 

 

$$
\left( 1 + \left( \frac { \sin \phi } { \cos \phi } \right) ^ { 2 } \right) \left( \frac { x } { \operatorname { Va } } \right) ^ { 2 } – \frac { 2 x y } { V_{ a } V_ { b } \cos \phi } + \left( \frac { y } { V _ { b } \cos \phi } \right) ^ { 2 } =  \left( k \frac { \sin \phi } {  cos\phi } \right) ^ { 2 }
$$

最後に、両辺に(cosφ)^2を掛けて導出完了。

 

 

 

$$
\left( 1 + \left( \frac { \sin \phi  } { \cos \phi } \right)^2 \right) \left( \frac { x } { V_ { a } } \right) ^ { 2 } – \frac { 2 x y } { V_{a} V _ { b } \cos \phi } + + \left( \frac { y } { V _ { b } \cos \phi } \right) ^ { 2 } = \left( K \frac { \sin \phi } { \cos\phi} \right) ^ { 2 }
$$

 

$$
\left( \frac { x } { V _ { a } } \right) ^ { 2 } – \frac { 2 x y } { V a V _ { 0b} } \cos \phi + \left( \frac { y } { V_{b}} \right) ^ { 2 } = ( k \sin \phi ) ^ { 2 }
$$

 

となり、リサージュ図の式を導出することができました。

 

絶賛!レポートで苦戦する大学生が読むべき本

 

意味もなくただただレポートを書くのはもうやめよう

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大学1年生のための 伝わるレポートの書き方

 

レポートを書くのが楽しくなる

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ロジカルシンキングが強くなる

当たり前ですけど、レポートを書くにあたって、論理的にまちがっていることを書くわけにはいけません。ここでしっかり、レポートを書くことを材料として、正しい文章がかけるようになれれば、文系学生との論理的思考力における差が開くので、このレポートを書くというイベントをトレーニングに使えることは理系のメリットでもあるので最大限利用するために、正しい書き方というのを身に着けてかけるようになることが大切です。

 

早めにきちんとした基礎を身につけよう

我流でなんとなくレポートを書くのではなく、きちんとした基本を身につけてからレポートを書いた方がコスパ最強です。なのでこの点に自信のない方は一冊でも読んでおくと絶対お得です。

最後まで読んで頂き、ありがとうございました。
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プロフィール

@KATUO

現在都内私立大学に通う大学4年生。大学では電気電子工学を専攻。大学2年の夏頃に、プログラマーの長期インターン募集の広告が目に止まり、独学でプログラミングの学習を開始。現在は「ToC向け大規模サービスを運営するメガベンチャー」と「AIスタートアップ」でインターンで修行中。2020年4月からwebエンジニアとして社会人生活スタート。

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