【電気電子工学】リサージュ図形の式を導出し、数学的意味を理解する。

電気電子工学

リサージュ図形の定義

リサジュー図形(リサジューずけい、Lissajous figure)あるいはリサジュー曲線 (Lissajous curve) とは、互いに直交する二つの単振動を順序対として得られる点の軌跡が描く平面図形のこと。“リサージュ”と表記されることもある[1][2]。それぞれの振動の振幅、振動数、初期位相の違いによって、多様な曲線が描かれる。振動数の比が無理数の場合は閉曲線にはならず、軌道は有限の平行四辺形領域を稠密に埋める。

引用:「リサジュー図形」

「ウィキペディア (Wikipedia): フリー百科事典」

https://ja.wikipedia.org/wiki/リサジュー図形

簡単にまとめると、直交する2つの波の単振動部分に着目して、それぞれの波が描く軌跡を図形として考えるのがリサージュ図形です。

リサージュ図形はどのように生成されるのか

以下の図のようにx、y軸に正弦波を加える。

 

このとき、各周波数の比を整数比にした場合、周波数比と、位相差に応じた独自の図か生成される。この図と対照表を見比べることで、周波数比と位相差を知ることができるのである。これが数学的な意味に該当します。

 

レポートを書くにあたって、正しい日本語を使って文章を構成するのは結構難しいですよね。理系の方は文系の方に比べて文章を作成するのがあんまり得意じゃない、嫌いという方も多いかなとおもいます。以下の参考書ではレポート・論文で使うべき言葉使いを学ぶことができるので理系の方なら絶対読んでおいたほうがお得です。

リサージュ図の式を導出する

リサージュ図の式

$$
\left( \frac { x } { V _ { a } } \right) ^ { 2 } – 2 \frac { x y } { V _ { a } V _ { b } } \cos \varphi + \left( \frac { y } { V _ { b } } \right) ^ { 2 } = K ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \varphi
$$

リサージュ図形の導出

先ほど例をあげた2つの正弦波を以下のように定義します。

 

$$
\begin{array} { l } { e _ { a } = V _ { a } \sin w t } \\ { e _ { b } = V _ { 0 } \sin ( w t + \phi ) } \end{array}
$$

 

φは位相差を表します。

次にeaを水平軸, ebを垂直軸に加え,この時の輝点の変位をx,yとすると

 

 

$$
\begin{array} { l } { x = k V _ { a } \sin w t } \\ { y = k V _ { 0 } \sin ( w t + \phi ) } \end{array}
$$

 

Kは比例定数とする(ここでは感度を表すが数学的には別に気にしなくていい)

ここでyを加法定理を使って変形する。

$$
y = k V _ { 0 } \sin ( w t + \phi )
$$

$$
y = k V _ { 0 } ( \sin wt \cos \phi + \cos w t \sin \phi )
$$

さらに式変形を続ける

 

$$
\sin w t = \frac { x } { k V _ { a } }
$$

$$
\begin{aligned} y & = K V _ { b } \cdot \frac { x } { k V _ { a } } \cdot \cos \phi + K V _ { b } \cos w t \sin \phi \\ & = \frac { V _ { 0 } } { V _ { a } } x \cos \phi + K V _ { b } \sin \phi \text { coswt } \end{aligned}
$$

 

$$
\left( \frac { x } { V _ { a } } – \frac { y } { V _ { b } \cos \phi } \right) ^ { 2 } = \left( – \frac { k V _ { b } \sin \varphi } { V _ { b } \cos \phi } \right) ^ { 2 }
$$

 

$$
\left( \frac { x } { V a } \right) ^ { 2 } – \frac { 2 x y } { V a V _ { b } \cos \phi } + \left( \frac { y } { V _ { 0 } \cos \phi } \right) ^ { 2 } = \left( K \frac { \sin \phi } { \cos \phi } \cos u i \right) ^ { 2 }  \dot (1)’
$$

 

途中で、x式を変形してy式に代入している。

次の計算が1番の肝。

x式を変形する。理由はsinωtとcosωtを打ち消すためだ。

 

$$
\left( \frac { x } { V a } \right) ^ { 2 } – \frac { 2 x y } { V a V _ { b } \cos \phi } + \left( \frac { y } { V _ { 0 } ( \omega \phi ) } \right) ^ { 2 } = \left( k \frac { \sin \phi } { \cos \phi } \cos wt \right) ^ { 2 }
$$

 

$$
( K \cos \phi ) ^ { 2 } \left( \frac { x} { K V _ { a } } \right) ^ { 2 } = \left( K \frac { \sin \phi } { \cos\phi } \right) ^ { 2 } ( \sin wt ) ^ { 2 }
$$

 

$$
\left( \frac { \sin \phi x } { \cos \phi {V _ { a } }} \right) ^ { 2 } = \left( k \frac { \sin \phi } { \cos \phi } \right) ^ { 2 } \left( \sin ^ { 2 } w \right)
$$

これにより(2)’が定義され、(1)’+(2)’を計算すると以下の式が導かれる。

$$
\left( 1 + \left( \frac { \sin \phi } { \cos \phi } \right) ^ { 2 } \right) \left( \frac { x } { \operatorname { Va } } \right) ^ { 2 } – \frac { 2 x y } { V_{ a } V_ { b } \cos \phi } + \left( \frac { y } { V _ { b } \cos \phi } \right) ^ { 2 } =  \left( k \frac { \sin \phi } {  cos\phi } \right) ^ { 2 }
$$

最後に、両辺に(cosφ)^2を掛けて導出完了。

$$
\left( 1 + \left( \frac { \sin \phi  } { \cos \phi } \right)^2 \right) \left( \frac { x } { V_ { a } } \right) ^ { 2 } – \frac { 2 x y } { V_{a} V _ { b } \cos \phi } + + \left( \frac { y } { V _ { b } \cos \phi } \right) ^ { 2 } = \left( K \frac { \sin \phi } { \cos\phi} \right) ^ { 2 }
$$

$$
\left( \frac { x } { V _ { a } } \right) ^ { 2 } – \frac { 2 x y } { V a V _ { 0b} } \cos \phi + \left( \frac { y } { V_{b}} \right) ^ { 2 } = ( k \sin \phi ) ^ { 2 }
$$

となり、リサージュ図の式を導出することができました。

 

途中でも紹介しましたが、以下の参考書はレポート・論文を書くにあたって非常に役にたつので読んでおくべき1冊です。

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