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2019年01月28日

【線形代数学】基底についてわかりやすく解説

基底について

基底の定義

線形空間[math]V [/math]があるとします。この空間が0でないとき、あるベクトル集合[math]a _ { 1 } , a _ { 2 } , \dots , a _ { r } [/math]が存在するとします。以下の条件を満たしているとき、このベクトル集合を基底と言います。

 

① 一次独立である

② 基底を使って、線形空間Vの要素を一次結合の形で表せる

 

これだけ読んで、はいそうですか。と言える方はそもそもこの記事を読まないと思います。では1つずつ解説していきます。

 

基底の条件

一次独立

これに関しては別の記事で紹介しているのでそちらを読んでください。

https://katuo-ai.com/2019/01/28/linearly_indepen…nearly_dependent/

 

端的にいうと、全てのベクトルが同じ向きを向いていないという条件です。

 

 

基底の条件

線形空間Vを一次結合で表記可能

[math]a _ { 1 } , \cdots , a _ { m } \in V [/math] これら[math]a_m [/math]が基底であるとき、線型空間[math]V [/math]の要素は以下の一次結合の要素で表現できます。

 

$$ x_1 a _ { 1 } + x_2 a _ { 2 } + \cdots + x_m a _ { m }$$

 

図でイメージするなら以下のような感じでしょうか?複数のベクトルを足し合わせることで、基底の親の空間を全て表現することができます。これって平行だと実現できないことが理解できますよね?3次元なら少なくとも3方向異なる方向に向いているのがまず必要って直感的に理解できると思います。

 

おすすめの参考書

今回のような、線形代数学の基礎をしっかり学びたい方は以下の参考書を読むといいかもしれません。

 

最後まで読んで頂き、ありがとうございました。
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プロフィール

@KATUO

現在都内私立大学に通う大学4年生。大学では電気電子工学を専攻。大学2年の夏頃に、プログラマーの長期インターン募集の広告が目に止まり、独学でプログラミングの学習を開始。現在は「ToC向け大規模サービスを運営するメガベンチャー」と「AIスタートアップ」でインターンで修行中。2020年4月からwebエンジニアとして社会人生活スタート。

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