投稿日:2019年01月07日

【線形代数】座標軸の回転

やること

基準をx,y座標ではなく, 他の座標軸に変更する.

 

 

前提

[math]P(x,y)[/math]を終点とする位置ベクトル[math]\vec{OP}[/math]は

 

$$
e _ { 1 } =^t [ 1,0 ] \quad e _ { 2 } = ^t [ 0,1 ]
$$

 

の一次結合↓で表せる.

$$
\vec { O P }= \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { y } \end{array} \right] = x e_{1} + y e _ { 2 }
$$

 

座標を回転させる

$$
\vec { O P } = x e _ { i } + y e _ { 2 }
$$

 

基本ベクトルをθ回転させたものを[math]u_1 ,u_2[/math]とする.

 

$$
e _ { 1 } = ^{t} [ \cos ( 0 ) , \sin ( 0 ) ]
$$

$$
u_1 = ^ { L } [ \cos \theta , \sin \theta  ]
$$

 

$$
e _ {2} =  ^ { t } \left[ \cos \left( 90 ^ { \circ } \right) +\sin \left( 90 ^ { \circ } \right) \right]
$$

$$
u_2 = ^ { t }\left[ \cos \left( 90 ^ { 9 } + \theta \right) +\sin \left( 90 ^ { \circ } + \theta \right) \right]
$$

$$
u_2 =  [ – \sin \theta +\cos \theta ]
$$

 

三角関数の変換公式を忘れた人は↓をチェック.

 

 

成分表示する.

 

[math]u_1 ,u_2[/math] は[math]R^2[/math]の基底であるので, [math]\vec { O P }[/math]は[math]u_1 ,u_2[/math] の一次結合で表せる.

 

$$\vec { O P } = x e _ { i } + y e _ { 2 } = Xu_1+Yu_2 $$

 

成分を表すと↓になる.

 

$$
\left[ \begin{array} { l } { x } \\ { y } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c } { \cos \theta } & { – \sin \theta } \\ { \sin \theta } & { \cos \theta } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { X } \\ { Y } \end{array} \right]
$$

 

なにをしたの?

座標軸を(x,y)から(X,Y)に変更した. これによってXY座標系におけるPの座標を表せるようになる.

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