投稿日:2019年01月07日

【線形代数学】線形写像の定義を確認

やること

線形写像の定義を確認する.

 

線形写像の性質

 

ある写像を考える

$$ F_2 : R \longmapsto R^2 $$

$$
x \longmapsto \left [ \begin{array} { c } { x } \\ {4x } \end{array} \right]
$$

 

性質をみる

↑の写像を考えると, 任意の[math]x _ { 1 } , x _ { 2 } \in \boldsymbol { R }[/math], 実数a,bに対して↓が成り立つという性質を持つ.

 

$$
F _ { 2 } \left( a x _ { 1 } + b x _ { 2 } \right) = \left[ \begin{array} { c } { a x _ { 1 } + b x _ { 2 } } \\ { 4 a x _ { 1 } + 4 b x _ { 2 } } \end{array} \right] = a F _ { 2 } \left( x _ { 1 } \right) + b F _ { 2 } \left( x _ { 2 } \right)
$$

 

というのも, 個々で写像を求めると↓のようになり, 足し合わせると ↑が成り立つ.

$$
a F _ { 2 } \left( x _ { 1 } \right) = a \left[ \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { 4 x _ { 1 } } \end{array} \right]
$$

 

$$
b F _ { 2 } \left( x _ { 2 } \right) = b \left[ \begin{array} { l } { x _ { 2 } } \\ { 4 x _ { 2 } } \end{array} \right]
$$

 

 

一般化

[math]F : \boldsymbol { R } ^ {n } \longrightarrow \boldsymbol { R } ^ { m }[/math]としたとき, 任意の実数a,b, [math]R^m[/math]の元,x,yに対して↓が成り立つ場合, Fは線形写像であると定義される.

$$
F ( a x + b y ) = a F ( x ) + b F ( y )
$$

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