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2018年12月03日

【電気電子工学】角周波数におけるFM波スペクトルを解説してみた

何をするのか?

周波数を変化させた時のFM波スペクトルのグラフを考察する。

 

FM波のスペクトル波を求める

最大周波数偏移

FMの周波数偏移[math]k _ { f } v _ { m } ( t )[/math]の最大値は最大周波数偏移と呼ばれ、以下の式で定義される。

$$
\Delta \omega = k _ { f } \left| v _ { m } ( t ) \right| _ { \max }
$$

 

FM波を求める

変調信号として、振幅[math]V_m[/math]、角周波数[math]ω_m[/math]の正弦波を与える。

$$
v _ { m } ( t ) = V _ { m } \cos \left( \omega _ { m } t \right)
$$

 

この時の最大周波数偏移は

 

$$
\Delta \omega = k _ { f } V _ { m }
$$

 

となり、FM波の式に代入すると

 

$$
v _ { F M } ( t ) = V _ { c } \cos \left[ \omega _ { c } t + k _ { f } \int v _ { m } ( t ) d t \right]
$$

 

$$
v _ { F M } ( t ) = V _ { c } \cos \left[ \omega _ { c } t + m _ { f } \sin \left( \omega _ { m } t \right) \right]   (1)
$$

 

となる。

 

FMの変調指数

(1)の[math]m_f[/math]をFMの変調指数と呼ぶ。

 

$$
m _ { f } = \frac { \Delta \omega } { \omega _ { m } }
$$

 

FM波のスペクトルを求める

(1)の式を以下の(2)の式に変換する。

 

$$
v _ { F M } ( t ) = V _ { c } \operatorname { Re } \left[ e ^ { j \omega _ { t } t } e ^ { j m _ { f } \sin \left( \omega _ { m } t \right) } \right]  (2)
$$

 

Re[•]:実数部

 

(オイラーの公式を用いて(2)の式を変換すれば、(1)の式に戻ることが確認できる)

 

フーリエ級数展開をする

[math]e ^ { j m _ { f } \sin \left( \omega _ { m } t \right) }[/math]は周期[math]2\pi / \omega _ { m }[/math]の周期関数。すなわちフーリエ級数変換をすると以下の式(3)に変換できる。

 

$$
e ^ { j m _ { f } \sin \left( \omega _ { m } t \right) } = \sum _ { n = – \infty } ^ { \infty } J _ { n } \left( m _ { f } \right) e ^ { j n \omega _ { m } t } (3)
$$

 

[math]J_{n}(m_f)[/math]はBessel関数と呼ばれ、以下の式で表される。

 

$$
J _ { n } \left( m _ { f } \right) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { – \pi } ^ { \pi } e ^ { – j \left( x x – m _ { f } \sin x \right) } d x
$$

 

また以下の性質をもつ。

 

$$
J _ { n } \left( m _ { f } \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { J _ { – n } \left( m _ { f } \right) } & { : n = 0 , \pm 2 , \pm 4 , \cdots } \\ { – J _ { – n } \left( m _ { f } \right) : n = \pm 1 , \pm 3 , \cdots } \end{array} \right.
$$

 

このBessel関数を用いてFM波を変形する。

 

$$
v _ { F M } ( t ) = V _ { c } \sum _ { n = – \infty } ^ { \infty } J _ { n } \left( m _ { f } \right) \cos \left( \omega _ { c } + n \omega _ { m } \right) t
$$

$$
= V _ { c } [ J _ { 0 } \left( m _ { f } \right) \cos \omega _ { c } t
$$

$$
\begin{array} { l } { + J _ { 1 } \left( m _ { f } \right) \left\{ \cos \left( \omega _ { c } + \omega _ { m } \right) t – \cos \left( \omega _ { c } – \omega _ { m } \right) t \right\} } \\ { + J _ { 2 } \left( m _ { f } \right) \left\{ \cos \left( \omega _ { c } + 2 \omega _ { m } \right) t + \cos \left( \omega _ { c } – 2 \omega _ { m } \right) t \right\} } \\ { + J _ { 3 } \left( m _ { f } \right) \left\{ \cos \left( \omega _ { c } + 3 \omega _ { m } \right) t – \cos \left( \omega _ { c } – 3 \omega _ { m } \right) t \right\} + \ldots \cdots ] } \end{array} (4)
$$

 

 

となり、Jnによって、各振幅スペクトラムが表される。(4)式の物理的な意味について、第一項は搬送波、第二項以降を側帯波を表す。n=∞であるためFMは無限の側帯波を持つことが式からわかる。側帯波というのは搬送波を信号によって変調した際に生じる搬送波以外の持続波のことを言う。[math]J _ { n } \left( m _ { f } \right)[/math]の値は[math]n > m _ { f }[/math]をnが満たしたときから急激に減少するため、伝送する際に無視しても構わない。この際全電力の98%伝送する帯域をFM波の帯域幅として定義する。

 

帯域幅を求める

(2)式よりFM波の全電力

$$P _ { T } = V _ { c } ^ { 2 } / 2$$

つまり搬送波と等しい。

 

(4)式よりk次の側帯波までの電力は

$$
P _ { k } = \left( V _ { c } ^ { 2 } / 2 \right) \sum _ { n = k } ^ { k } J _ { n } ^ { 2 } \left( m _ { f } \right)
$$

と求められる。

 

帯域幅 98%以上であるためには

$$
\frac { P _ { k } } { P _ { T } } = J _ { 0 } ^ { 2 } \left( m _ { f } \right) + 2 \sum _ { n = 1 } ^ { k } J _ { n } ^ { 2 } \left( m _ { f } \right) \geq 0.98
$$

を満たす必要がある。

 

場合によっては[math]m_k[/math]が非整数であるので、このときは切り上げて整数とする。

$$
k = m _ { f } + 1
$$

 

よって帯域幅は以下のようになる。

 

$$
W \cong 2 \left( m _ { f } + 1 \right) \omega _ { m } = 2 \left( \Delta \omega + \omega _ { m } \right)
$$

となり、これをカーソン側と呼ばれ、

 

[math]m_f <<1 [/math]のときを狭帯域FM

[math]m_f >>1 [/math]のときを広帯域FM

 

と言う。

 

 

指定の変調周波数時の理論スペクトルを図示してみよう

変調指数:[math]m_f[/math]=2.4,

変調周波数:[math]f_m[/math]=10.44[kHz],

の場合の理論スペクトルを図示する.

 

$$
J _ { n } \left( 2.4 \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { J _ { – n } \left( 2.4 \right) } & { : n = 0 , \pm 2 , \pm 4 , \cdots } \\ { – J _ { – n } \left( 2.4 \right) } & { : n = \pm 1 , \pm 3 , \cdots } \end{array} \right.
$$

$$
\begin{aligned} v _ { F M } ( t ) = V _ { c } & \sum _ { n = – \infty } ^ { \infty } J _ { n } \left( 2.4 \right) \cos \left( \omega _ { c } + n \omega _ { m } \right) t \\ = & V _ { c } \left[ J _ { 0 } \left( 2.4 \right) \cos \omega _ { c } t \right. \\ & + J _ { 1 } \left( 2.4 \right) \left\{ \cos \left( \omega _ { c } + \omega _ { m } \right) t – \cos \left( \omega _ { c } – 2 \omega _ { m } \right) t \right\} \\ & + J _ { 2 } \left( 2.4 \right) \left\{ \cos \left( \omega _ { c } + 2 \omega _ { m } \right) t + \cos \left( \omega _ { c } – 2 \omega _ { m } \right) t \right\} \\ & + J _ { 3 } \left( 2.4 \right) \left\{ \cos \left( \omega _ { c } + 3 \omega _ { m } \right) t – \cos \left( \omega _ { c } – 3 \omega _ { m } \right) t \right\} + \cdots \cdots ] \end{aligned}
$$

 

 

↑のbessel関数のグラフを見ると,  [math]J _n  (2.4)[/math]の値がわかるので, 縦軸を[math]J _n (2.4)[/math]の値, 横軸を周波数としてグラフを書く.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

最後まで読んで頂き、ありがとうございました。
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プロフィール

@KATUO

現在都内私立大学に通う大学4年生。大学では電気電子工学を専攻。大学2年の夏頃に、プログラマーの長期インターン募集の広告が目に止まり、独学でプログラミングの学習を開始。現在は「ToC向け大規模サービスを運営するメガベンチャー」と「AIスタートアップ」でインターンで修行中。2020年4月からwebエンジニアとして社会人生活スタート。

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