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法政大学理工学部電気電子工学科 現在3年生
趣味はプログラミング、ランニング、釣り、カフェ巡り。まだまだ初心者ですが, プログラミング系の記事を中心に書いていきます。

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投稿日:2018年11月07日

【ベクトル解析】単位接線ベクトルと主法線ベクトルを定義する

なぜ今回記事を書いたか?

 

授業で扱った、単位法線ベクトル、主法線ベクトルがどのように導かれたものであるかを理解する為。

 

 

 

 

 

 

 

まずは線素ベクトルというものを理解する

 

 

 

drのことを線素ベクトルという。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

単位接線ベクトルを定義する

 

またdrの長さは以下のように定義できる。

 

 

 

 

 

線素ベクトルをuで微分したものは、ベクトルの接線方向を表しているので

 

 

最後の行で単位ベクトルに変換することで、単位接線ベクトルが定義できる。

 

 

 

 

 

 

 

主法線ベクトルを定義する

 

 

主接線ベクトルをtとする。

 

 

 

 

 

ベクトルの内積が0になるということは直行していることを意味する。

つまり、tをsで微分したものが主法線ベクトルとなる。

また単位主法線ベクトルは以下のように求められる。

 

 

ここで主法線ベクトルを別の式で表す為に以下の変形を行う。

 

 

 

 

 

このまま曲率と曲率半径を定義する。

 

t(s)とt(s+Δs)の間の角度をθと置き、Δtを求める。

 

 

tanθを用いて以下のようにΔtはΔθと同値になる。

 

 

ここで、κが大きければ、θが大きくなることが以下の式からわかる。

よって、κは曲がり具合を表す、曲率と定義される。

 

 

 

またκを逆数にとった値をρとすると、Δsは曲線の長さの変化を表すので

孤の長さを求める公式と照らし合わせるとρは瞬間的な半径を表していることがわかる。

これを曲率半径という。

 

 

感想・気づき

内積の微分公式が思いつかず、式変形に苦労した。

最後まで読んで頂き
ありがとうございました。
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