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法政大学理工学部電気電子工学科 現在3年生
趣味はプログラミング、ランニング、釣り、カフェ巡り。まだまだ初心者ですが, プログラミング系の記事を中心に書いていきます。

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投稿日:2018年11月05日

【ベクトル解析】曲率半径と曲率の定義を解説する

今回なぜ記事を書いたか?

曲率半径&曲率の定義、意味を理解する為

 

 

 

 

 

曲率半径とはそもそもなにか?

曲線のある点近傍を近似して円と見たときの円の半径のこと。

 

 

 

 

 

曲率とはそもそもなにか?

曲線や曲面の曲がり具合を表す。

 

 

 

 

 

 

 

実際に図を使って導出してみる

 

 

M点とN点の長さをΔsと置く。

またM点における傾きとN点における傾きの差をΔαとする。

 

 

 

 

MN = Δs が円弧だとすると、中心角MONはΔαとなる。

Δαになる理由は簡単に図にまとめておいた。(実はすぐはわからなかったです。笑)

 

 

 

 

 

 

円弧の公式を使うと

$$ l (円弧の長さ)=r\theta (扇型の角度)$$

 

 

$$ Δs = R Δα $$

$$R = \frac{Δs}{Δα} $$

 

 

 

 

Δαが非常に小さいとすると

 

$$ \lim_{x \to 0} \frac{Δs}{Δα}$$

$$ = \frac{ds}{dα}$$

 

 

これが曲率半径の正体である。

 

 

また曲率は曲率半径を逆数にとったものとして定義される。

 

 

$$κ = \frac{1}{R} $$

 

 

 

 

曲線の曲がりが強いと、半径が小さくなるので曲率が大きくなるということイメージできる。

 

 

 

 

 

感想・気づき

次はフレネ・セレで扱う曲率を扱いたい。

 

 

最後まで読んで頂き
ありがとうございました。
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