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法政大学理工学部電気電子工学科 現在3年生
趣味はプログラミング、ランニング、釣り、カフェ巡り。まだまだ初心者ですが, プログラミング系の記事を中心に書いていきます。

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投稿日:2018年10月31日

【線形代数学】基底とは?

定義

 

線型代数学における基底(きてい、英: basis)は、線型独立なベクトルから成る集合で、そのベクトルの(有限個の)線型結合として、与えられたベクトル空間の全てのベクトルを表すことができるものを言う

 

↑wikipediaより引用

 

 

 

簡単にいうと

 

全体を表現するのに必要な最低限のベクトル集合のこと。

 

 

 

 

 

必要十分条件

 

 

 

ベクトル[math]a_1 〜a_m[/math]がUの基底である場合、Uの任意のベクトルは[math]a_1 〜a_m[/math]の一次結合で表せるということになる。

 

 

 

 

問題を解いて理解を深める

 

以下のサイトの問題、解説を参考にさせてもらった。

 

 

 

 

[問題]

 

$$x+y+2z=0$$

 

を満たす式を考えるとき、変数2つは固定できる。

[math]y=y_{0},z=z_{0}[/math]として固定して考えると

 

$$x=-y_{0}-2z_{0}$$

 

固定というのは一時的に変数を定数と考えることである。

よって[math]x+y+2z=0[/math]を満たす実数の組は

 

 

\begin{pmatrix}
-y_{0}-2z_{0}\\y_{0}\\z_{0}
\end{pmatrix}

 

(このとき、[math]y_0,z_0[/math]は実数全体を指す)

 

 

書き換えると

$${y_0}{\begin{pmatrix}
-1\\1\\0
\end{pmatrix}}+{z_0}{\begin{pmatrix}
-2\\0\\1
\end{pmatrix}}$$

 

↑の[math]y_0,z_0[/math]は実数全体を動くので、

 

$${\begin{pmatrix}
-1\\1\\0
\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}
-2\\0\\1
\end{pmatrix}}$$

 

の2つのベクトルでWが指定する、空間を表している。

 

 

よってこの2つのベクトルがWの基底であり、次元はベクトルの組みが2つであるので2となる。

 

最後まで読んで頂き
ありがとうございました。
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