投稿日:2018年10月21日

【電気電子】オシロスコープに描かれたリサジュー図の式の導出

今回は「リサジュー図の式の導出」について記事を書いていきます。

 

 

 

 

 

 

 

 

$$
\left( \frac { x } { V _ { a } } \right) ^ { 2 } – 2 \frac { x y } { V _ { a } V _ { b } } \cos \varphi + \left( \frac { y } { V _ { b } } \right) ^ { 2 } = K ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \varphi
$$

 

↑の図形の式を導出します。

 

初めに

 

$$
\begin{array} { l } { e _ { a } = V _ { a } \sin w t } \\ { e _ { b } = V _ { 0 } \sin ( w t + \phi ) } \end{array}
$$

 

で表される正弦波形が2つあるとします。

φは位相差を表します。

 

 

次にeaを水平軸, ebを垂直軸に加え,この時の輝点の変位をx,yとすると

 

 

$$
\begin{array} { l } { x = k V _ { a } \sin w t } \\ { y = k V _ { 0 } \sin ( w t + \phi ) } \end{array}
$$

 

Kは比例定数とする(ここでは感度を表すが数学的には別に気にしなくていい)

 

 

ここでyを加法定理を使って変形する。

 

 

 

 

↑大学受験を思い出す。笑

 

$$
y = k V _ { 0 } \sin ( w t + \phi )
$$

$$
y = k V _ { 0 } ( \sin wt \cos \phi + \cos w t \sin \phi )
$$

 

 

 

 

以下のように式変形を続ける。

 

$$
\sin w t = \frac { x } { k V _ { a } }
$$

$$
\begin{aligned} y & = K V _ { b } \cdot \frac { x } { k V _ { a } } \cdot \cos \phi + K V _ { b } \cos w t \sin \phi \\ & = \frac { V _ { 0 } } { V _ { a } } x \cos \phi + K V _ { b } \sin \phi \text { coswt } \end{aligned}
$$

 

$$
\left( \frac { x } { V _ { a } } – \frac { y } { V _ { b } \cos \phi } \right) ^ { 2 } = \left( – \frac { k V _ { b } \sin \varphi } { V _ { b } \cos \phi } \right) ^ { 2 }
$$

 

$$
\left( \frac { x } { V a } \right) ^ { 2 } – \frac { 2 x y } { V a V _ { b } \cos \phi } + \left( \frac { y } { V _ { 0 } \cos \phi } \right) ^ { 2 } = \left( K \frac { \sin \phi } { \cos \phi } \cos u i \right) ^ { 2 }
$$

 

 

 

 

途中で, x式を変形してy式に代入している。

上の図には書いていないが, 一番最後の式を(1)’と定義する。

 

 

 

次の計算が1番の肝。

x式を変形する。理由はsinωtとcosωtを打ち消すためだ。

 

$$
\left( \frac { x } { V a } \right) ^ { 2 } – \frac { 2 x y } { V a V _ { b } \cos \phi } + \left( \frac { y } { V _ { 0 } ( \omega \phi ) } \right) ^ { 2 } = \left( k \frac { \sin \phi } { \cos \phi } \cos wt \right) ^ { 2 }
$$

 

$$
( K \cos \phi ) ^ { 2 } \left( \frac { x} { K V _ { a } } \right) ^ { 2 } = \left( K \frac { \sin \phi } { \cos\phi } \right) ^ { 2 } ( \sin wt ) ^ { 2 }
$$

 

$$
\left( \frac { \sin \phi x } { \cos \phi {V _ { a } }} \right) ^ { 2 } = \left( k \frac { \sin \phi } { \cos \phi } \right) ^ { 2 } \left( \sin ^ { 2 } w \right)
$$

 

 

これにより(2)’が定義される。

 

(1)’+(2)’を計算すると以下の式がでてくる。

 

 

$$
\left( 1 + \left( \frac { \sin \phi } { \cos \phi } \right) ^ { 2 } \right) \left( \frac { x } { \operatorname { Va } } \right) ^ { 2 } – \frac { 2 x y } { V_{ a } V_ { b } \cos \phi } + \left( \frac { y } { V _ { b } \cos \phi } \right) ^ { 2 } =  \left( k \frac { \sin \phi } {  cos\phi } \right) ^ { 2 }
$$

最後に,両辺に(cosφ)^2を掛けて証明完了。

 

 

 

$$
\left( 1 + \left( \frac { \sin \phi  } { \cos \phi } \right)^2 \right) \left( \frac { x } { V_ { a } } \right) ^ { 2 } – \frac { 2 x y } { V_{a} V _ { b } \cos \phi } + + \left( \frac { y } { V _ { b } \cos \phi } \right) ^ { 2 } = \left( K \frac { \sin \phi } { \cos\phi} \right) ^ { 2 }
$$

 

$$
\left( \frac { x } { V _ { a } } \right) ^ { 2 } – \frac { 2 x y } { V a V _ { 0b} } \cos \phi + \left( \frac { y } { V_{b}} \right) ^ { 2 } = ( k \sin \phi ) ^ { 2 }
$$

 

 

 

↑リサージュ式が導出できました。

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